小波谈OLL57个真正原因！

小波

之前看了乌木老师写的一篇“OLL公式有57个的原因”，
原帖地址http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=22872&extra=page%3D2

我在11楼回了贴，内容是这样的：
乌木老师哦，这样看来57这个数字还是数出来的，问题是能否用一个通式表达出来呢？
怎样确认重复态是个比较棘手的问题。
还有一个问题是是否应当把4个方向看过去不对称的情况算做4种情况呢（有些2个方向不对称），因为我有十几个OLL是会从2个方向去解的。在我眼里就不止57个OLL了。

乌木老师在19楼给我的回帖是：
我不知道如何用一个通式表达OLL只有57式。确实，目前这里只有区区64个组合，还可以来点人工“数数”，在更复杂一点、数量更多的场合，数是数不过来的。
同样，对象较少时，查查重复态还可以人工干，否则也得靠数学。


之后我一直“耿耿于怀”，呵呵，我总是觉得应当可以用一个式子来表示，毕竟其终究是个数学模型而已，今天凌晨睡觉的时候我想了一下，下午就动手研究起来。我在构建角块和棱块情况的时候发现了这样一个问题，差点就抓住了乌木老师的把柄。乌木老师的图中将棱块具有一个折的情况分成了这样4个：






我的疑问是，你的棱块既然这样分，为何角块不是这样分呢？



         



而角块只列出了排除对称的8种情况（事实上有27种呢），可是棱块却把对称的也放进去了。


可是之后我在考虑排除重复态的时候遇到了困难，知道了乌木老师这样举例的原因，这个把柄最终没有抓住。但是细细看来，乌木老师这样例举仍然是不够系统。

[ 本帖最后由 小波 于 2009-5-6 12:56 编辑 ]

小波

OLL有57个真正原因！

为了让大家理解我的方法，我先介绍一些预备知识。


首先是对称性，比如这个图 ，它对于通过中心与纸面垂直的轴具有旋转对称性，如果旋转90度即于原状态一致，称为4次转动对称性，比如 ，180度对称为2次转动对称性，比如 ，转360度才能对称称为1次转动对称，比如 。

然后是棱块角块的基本性质:
棱块有4个，固定U层，则棱块的状态会有几种呢？有8种，怎么出来的，是数出来的吗？可以不用细数，比如排练组合一下。一个棱块只有2种状态，即翻或不翻。
角块有4个，固定U层，则角块的状态会有几种呢？有27种！怎么出来的，为何不是乌木老师举的8种，因为其中和乌木老师举的棱块状态一样，是有重复状态（旋转对称）的。我也不是数出来的，是算出来的：1（4选0）+12（4选2，翻法各有2种）+8（4选3，翻法有2种）+6（4选4）=27！也可以最简单得这样算：3x3x3=27！最后一个角块起调制作用。一个角块不仅仅是翻不翻的问题，还有怎么翻的问题。

好了，接下来我制作的这张图，我认为比乌木老师的要有技术含量，呵呵，老师不要生气哦~~










下面我对图表做个解释，请大家听仔细了，这个部分最重要！
我枚举了4个棱块状态和8个角块状态，与乌木老师不同的是，我棱块避免了旋转态的重复例举。给出图片只是方便大家看而已，我这个表最最强大的地方是“具有状态数”和“n次轴对称”两行。

对于一个图，这两个指标的乘积是个定值4！
每当两个图组合（即形成一个OLL），棱块和角块都会各自有一个“具有状态数”的指标，我们所要做的就是取其中较小的一个，这个数即是这个棱块和角块组合成的OLL的个数！对于每个组合，我都用彩色写出来了。大家可以加一下，彩色数字的总和就是58！

我解释一下为何是取较小的那个，比如某角块状态有4次轴对称性（即1个状态数），某棱块状态有1次轴对称性（即4个状态数），则他们的组合，显然由于角块的4次对称，从4个方向看都是一样的，所以棱状态的变化已经没有效果了，为1个！也可以说，取n次轴对称较大的一个，也就是说，低次轴对称在高次轴对称面前失效！

我这样的话，就有效地消除了重复状态的棘手问题！
对于到底是不是数出来的这个问题，我想也应该明了了，如果能给出角块和棱块各自有多少n次轴对称的情况，就解决了所有问题！仍然使用排列组合，我有时间再想想。总之排列组合的表达有效得避免了枚举带来的操作困难。

[ 本帖最后由 小波 于 2009-3-3 18:59 编辑 ]

小波

差不多了，以后再修正一下~~~~~

此文为继《小波浅谈空心魔方的数学原理》之后又一“巨作”，呵呵

希望大家少发水贴，崇拜乌木老师的最好方法不是灌水，而是多多向老先生学习~

18点42分，修正一下，棱块和角块的组合，取他们中间“具有状态数”较小的一个，不是最大的，之前写错了，或者也可以说是取“n次转动”较大的一个，然后再转化为状态数。


我感觉这个方法最大的优势就是降低了考虑重复状态的麻烦。


[ 本帖最后由 小波 于 2009-3-3 18:57 编辑 ]

魔鱼儿

楼主好强大,学习下,顶

R_胆小鬼

不是吧？这么多？唉…

美景

哈哈！支持楼主了！

juventus66

学习了

Uriel

先顶..再慢慢看..

炀燚

相当有钻研精神，顶了

henryzhang

顶了..........................