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对数的发明
1.历史背景
在数学史上,对数的发明是早于指数的,这是数学界的一大反常现象。现代计算方法之所以有奇迹般的力量,是由于三个发明,即阿拉伯计数法、小数和对数。对数的发明要归功于16世纪曼彻斯特的贵族约翰·纳皮尔。不过,由于当时关于非整数的指数概念还是模糊的,因此,纳皮尔通过运动学的方式解释了对数。
2.构造模型
假定有两个质点P和Q,前者沿一条有限长的直线AZ运动,后者沿一条无限长的直线A'Z'运动。两个质点开始运动时速度相同。Q保持这一速度不变,而P的速度则以如下方式变化:在其路径上任一点B的速度与它尚需经过的距离成正比,即与BZ成正比。现在,如果当P位于某点B时,Q位于B'位置,则A'B'便是BZ的对数。
3.模型求解
(i)设A'B'=x,BZ=y,AZ=a,依据纳皮尔的思路,试写出x关于y含有参数a的对数表达式x=Nap.log(y)。
4.模型应用
纳皮尔发明对数的原意是为了化简三角运算,他认为AZ所代表的应当是sin90°,其长度为107。
(ii)依据纳皮尔的说法,有Nap.logsin90°=Nap.log107=0。试证明:对于任意三角形,有Nap.logsinA-Nap.logsinB=Nap.loga-Nap.logb,其中a,b分别是A、B的对边。
5.问题总汇
(i)设A'B'=x,BZ=y,AZ=a,依据纳皮尔的思路,试写出x关于y含有参数a的对数表达式x=Nap.log(y)。
(ii)依据纳皮尔的说法,有Nap.logsin90°=Nap.log107=0。试证明:对于任意三角形,有Nap.logsinA-Nap.logsinB=Nap.loga-Nap.logb,其中a,b分别是A、B的对边。
(题目中给了一个公式:对于函数y=f(x),如果满足(a-y)'=y,那么可以导出-lny=C+x,其中C是任意常数。汗,这个不是积分公式吗?但这个公式对于本题不一定用得上) |
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