加拿大中学3年级数学竞赛的一道题

乌木

不懂编程，乱说说：

如果题目中的1改为0，2改为1，是否更便于写个程序由电脑算？

whitetiger

7#差不多对了，有一个地方没考虑清楚。

分析题目，可以认为2187(=2^7)位数字可以这么出来：Jean写出第1(=3^0)位数字，Judith写出对应的3(=3^1)位数字，这也是Jean的前3(=3^1)位数字。然后Judith再写出对应的9(=3^2)位数字，……如此反复，直到写出2187(=2^7)位数字。

第1位数字，一定是1。
怎么会出现“2”这个数字呢？只能是从“前一代”（利用乌木的讲法）数字中的“1”变过来的，前一代数字中有多少个“1”，这一代数字中就有多少个“2”。
怎么会出现5个连续的“1”呢？只有在前一代数字中出现“21”，才能形成这一代数字中的连续5个“1”。（以下是乌木没有考虑到的问题）所有的数字中“2”不可能连续出现；因此除非是前一代数字以“2”结尾，否则前一代数字有多少“2”，这一代数字中就有多少个“1”。
每代数字结尾的数字肯定是“1”、“2”交替的。

第0代，1(=3^0)位数字，就是“1”，有0个“2”，1个“1”，以“1”结尾；
第1代，3(=3^1)位数字，有1个“2”，有3-1=2个“1”，以“2”结尾，有0个连续的5个“1”；
第2代，9(=3^2)位数字，有2个“2”，有9-2＝7个“1”，以“1”结尾，有1-1=0个连续的5个“1”；
第3代，27(=3^3)位数字，有7个“2”，有27-7＝20个“1”，以“2”结尾，有2个连续的5个“1”；
第4代，81(=3^4)位数字，有20个“2”，有81-20＝61个“1”，以“1”结尾，有7-1=6个连续的5个“1”；
第5代，243(=3^5)位数字，有61个“2”，有243-61＝182个“1”，以“2”结尾，有20个连续的5个“1”；
第6代，729(=3^6)位数字，有182个“2”，有729-182＝547个“1”，以“1”结尾，有61-1=60个连续的5个“1”；
第7代，2187(=3^7)位数字，有547个“2”，有2187-547＝1640个“1”，以“2”结尾，有182个连续的5个“1”；
……

虽然乌木没考虑清楚，但是正好不需要做“减1”的调整，答案也对了。

最后可以完全把公式导出来：
当n为偶数时，3^n位数字中，有[(3^n)-1]/4个“2”，有[(3^(n+1))+1]/4个“1”，以“1”结尾，有[(3^(n-1))+1]/4-1=3/4[(3^(n-2))-1]个连续的5个“1”；
当n为奇数时，3^n位数字中，有[(3^n)+1]/4个“2”，有[(3^(n+1))-1]/4个“1”，以“2”结尾，有[(3^(n-1))-1]/4个连续的5个“1”。

乌木

哈，我是考虑了“前一代”末位是1还是2的，当判断出那729位数的末位和末第二位都是1后，我就删去了每一步分析中所说的关于末位的情况了。看来，删得不妥－－至少显得不严密了。

libiamo

<br>

这个简单嘛
一个一个列出来
列完2187个数一下就可以了

<br><br>数学竞赛60分钟，一共25道题，是没有时间慢慢列滴。。。如果列完了后，数漏了一个不就前功尽弃了吗<img smilieid="10" src="http://bbs.mf8-china.com/images/smilies/default/sweat.gif" border="0"><br>去年我们学校参赛的没有一个人做出来。。。<br><br>我将在2008年2月底去参加加拿大国家竞赛（中学4年级的，题比这个还难<img smilieid="10" src="http://bbs.mf8-china.com/images/smilies/default/sweat.gif" border="0">），正在趁着圣诞假期好好努力~~~<br>

[ 本帖最后由 libiamo 于 2007-12-22 09:48 编辑 ]

libiamo

182答案是对的~ 画个表格行更清楚：<br><br>“代”&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Jean的数的位数&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Judith的数的位数&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Jean的“1”的个数&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; “2”的个数<br>1&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 1&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 3&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 1&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 0<br>2&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 3&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 9&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 2&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 1<br>3&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 9&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 27&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 7&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 2<br>4&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 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243&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 61&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 20<br>6&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 243&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 729&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <span style="color: Black; font-weight: bold;">182</span>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 61<br>7&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 729&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 2187&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 537&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <span style="font-weight: bold;">182</span> &nbsp;<br>8&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 2187&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <br>Jean的第8轮的5个1的个数，就是上轮的2的个数，也就是上上轮1的个数<br>

Exploding

11211211111211211112112这样循环啊每24个就2个5个1连着的2187＊2／24＝182．．．3

libiamo

存在多少对正整数（n，r），4≤n≤r≤2007，使n个黑色的球，r个红色的球随机的排成一条直线时， 排在第一个的球和排在最后一个的球的颜色一样的可能性为50%  ？

选项：a)58  b)59  c)60  d)61 e)62

铯_猪哥恐鸣

用程序做了，答案确实是182
112112111112112111112112112112112111112112111112112112112112111112112111112112111112112111112112111112112112112112111112112111112112112112112111112112111112112111112112111112112111112112112112112111112112111112112112112112111112112111112112112112112111112112111112112112112112111112112111112112112112112111112112111112112111112112111112112111112112112112112111112112111112112112112112111112112111112112111112112111112112111112112112112112111112112111112112112112112111112112111112112112112112111112112111112112112112112111112112111112112112112112111112112111112112111112112111112112111112112112112112111112112111112112112112112111112112111112112111112112111112112111112112112112112111112112111112112112112112111112112111112112111112112111112112111112112112112112111112112111112112112112112111112112111112112111112112111112112111112112112112112111112112111112112112112112111112112111112112111112112111112112111112112112112112111112112111112112112112112111112112111112112112112112111112112111112112112112112111112112111112112112112112111112112111112112111112112111112112111112112112112112111112112111112112112112112111112112111112112111112112111112112111112112112112112111112112111112112112112112111112112111112112112112112111112112111112112112112112111112112111112112112112112111112112111112112111112112111112112111112112112112112111112112111112112112112112111112112111112112111112112111112112111112112112112112111112112111112112112112112111112112111112112111112112111112112111112112112112112111112112111112112112112112111112112111112112111112112111112112111112112112112112111112112111112112112112112111112112111112112111112112111112112111112112112112112111112112111112112112112112111112112111112112112112112111112112111112112112112112111112112111112112112112112111112112111112112111112112111112112111112112112112112111112112111112112112112112111112112111112112111112112111112112111112112112112112111112112111112112112112112111112112111112112112112112111112112111112112112112112111112112111112112112112112111112112111112112111112112111112112111112112112112112111112112111112112112112112111112112111112112111112112111112112111112112112112112111112112111112112112112112111112112111112112112
182

铯_猪哥恐鸣

附程序代码（pascal语言）
var
   a:array[1..10000]of longint;
   i,j,k,l,m,n:longint;
begin
   assign(output,'e:\out.txt');
   rewrite(output);
   fillchar(a,sizeof(a),0);
   a[1]:=1;
   for i:=1 to 3333 do begin
      case a of 1:begin
                        a[3*i-2]:=1;
                        a[3*i-1]:=1;
                        a[3*i]:=2;
                     end;
                   2:begin
                        a[3*i-2]:=1;
                        a[3*i-1]:=1;
                        a[3*i]:=1;
                     end;
                   end;
   end;
   n:=0;
   for i:=1 to 2187 do write(a);
   writeln;
   for i:=1 to 2183 do if [a,a[i+1],a[i+2],a[i+3],a[i+4]]=[1] then inc(n);
   writeln(n);
   close(output);
end.

铯_猪哥恐鸣

17楼那道基本的概率问题。由题有：(P(n,2)+P(r,2))*(n+r-2)!=0.5*(n+r)!化简整理有：
(n-r)^2=n+r;
故n＋r为完全平方数，且由x与x^2同奇偶知对满足n＋r为完全平方数的任意值均可解出唯一的n与r。故共有根号（2×2007）取整－3＝60组