24状态定理

earthengine

<br>定理1：三维直角坐标系下，若允许沿坐标轴旋转90度并可以组合这些旋转，任意点(x,y,z)最多能变化到24个不同的位置。
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简要证明：每一个这样的旋转，除了加负号之外不会改变xyz的数值，不会丢失xyz中任意一个字母。同时，若xyz的位置有两个对换另一个不变，则要出现一个或三个负号。如果出现轮换，那么要么没有负号要么有两个负号。根据这些规则，可枚举出24个位置的坐标如下：
(x,y,z)不变，(x,-y,-z)绕x轴转180度，……（待枚举）

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定理2：魔方的每个块能变换到的位置不超过24个。
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证明：采用中心轴坐标，魔方每个基本动作都是沿坐标轴旋转90度，因此根据前面的定理，上面的每个点只能变化到24个不同位置。魔方每个块可看成许多点的集合，且魔方的任意动作能保持这些点之间的距离和相对方位不变。既然每个点只能有24个不同位置，那么整个块也是。
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结论：<br>
当xyz的取值一定（也就是半径固定了），如果一个点在定理1中任意一个变换下本身不变化，那么它是该变换的不动点。通过枚举可知不动点一共有26个，分别对应于正方体的8个角，12条棱和6个面。除了这26个点，其余任意一个点所能变换的位置数均为24。而不动点的变化数则为同类的不动点数目，角点为8，棱点为12，面点为6。<br>
魔方的块若不包含不动点，那么它的任意两个点的相对方向在变换下永远一致。<br>
如果一个块含有不动点，由于块不会只有一个点，如果在块内随意另取一点，则它会有24种变化。但是不动点的变化数目少于它，因此该24个点中会有多个落在同一个块内。由于对称性，块的每个可能位置上应该有同样数目的点。因此，如果块有8个可能位置，则会有3种变化，若有12个可能位置则有2种变化，若有6个可能位置，则有4种变化。<br>

用通俗的话是这样讲的：如果我们把角块看成由3个连锁的块组成，棱中点块看成由2个连锁的块组成，中心块则看成4个正方形连锁小块组成，那么我们可以认为根本就没有什么“方向”的概念，每个块都有24个可能的位置。它们之所以看上去位置较少，只不过是因为包含了一个不动点。

[ 本帖最后由 earthengine 于 2008-8-18 22:15 编辑 ]

chuan1392010

这是干什么 用的啊，看不太明白啊？！

junior_sky

不懂.. ...

pengw

<P>楼主的说法，三年前大烟头就发贴了，12*2=3*8=24*1，凡玩过魔方的人都会注意这个所谓24定理，即然将其称为定理，那么用来解决什么问题？楼主初来，还真是重复发现了很多事物哦，哈哈哈。</P>
<P>&nbsp;</P>
<P>&nbsp;</P>

[ 本帖最后由 pengw 于 2008-8-18 22:35 编辑 ]

知Shmily足

<P>到底是干什么的啊？</P>

qq171614899

看不懂啊！！！！！！！！！

会跳的龙虾

~~~ ~~~还是不要研究这些~我没有天赋~

yjw44

看不太明白......

pengw

楼主的大意是想用24去解释色向问题，而事实上除了这样一个直观现象，并没有找出色向变换与这几个数字（3*8，2*12，1*24）之间必然的逻辑关联。提示一点，还得用魔方固有的基本四轮换和色向参照系去解决证明问题，变换的问题还得用更基本的变换去证明。有时魔方的自白是如此地坦率，逼得高人手拿高数工具而不知所措，有时一根木棍确实比一辆坦克好用，关键是要用对场合。

[ 本帖最后由 pengw 于 2008-8-19 07:35 编辑 ]