数轴上的问题

limite034

原帖由 tm__xk 于 2010-3-22 03:24 发表
我猜LZ的意思是要构造一个数列,使得任取0和1之间的一个数L,都存在一个子数列收敛于L..

我也不记得应该怎么说了..

应当是这个层面上意思。还要重申。这道题不是我考大家。原本就有这么一道题。我觉得挺有意思，拿出来献给喜欢数学的爱好者。考的是对于数的基本概念。基本原理和基本方法。谢谢你的回答

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原帖由 sadgen 于 2010-3-22 01:19 发表
额。。稍微解释下吧

任意 a属于（0，1）
若a是有理数 则易知结论成立
若a是无理数 任意a的邻域都有有理数  则可以取出收敛到a的有理数列。。

于是得证。。。

解释是对的。可以给分。就是有些简单，再详细一下。让每一个喜欢数学的爱好者看明白。

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看来，大家要集思广议。我也没有标准答案。我倒是有个答案。自己琢磨的。在观察观察。看看别人的，更好。

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原帖由 schuma 于 2010-3-26 00:39 发表
那就把所有 (0,1)的有理数排成一个序列了，这个数列在[0,1]区间上稠密，所以每一点都是极限点

答案很好。应当给分。
如果在严格的说，答案可以这样：
将 (0,1)所有的有理数从小到大排成一个序列。

希望有谁能给大家将“为什么”描述更详细一点。即让大家了解实数的性质，又让大家更好的理解极限的概念。
我虽然做过此题，但是，我也没有找到出题人的标准答案。谢谢！
如果有谁能解释的更清楚，我会将此题的“出处”告诉大家。
如果还没有更好的解释，我就将我的答案说出来，看看大家是否满意。

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原帖由 Cielo 于 2010-3-26 14:28 发表


这是不可能的……
假设排好了，由稠密性，任何相邻两项之间还有无穷个有理数比前面一个大，比后面一个小。

我认为概念有问题。为什么逼我先解释。能不能再等等。然后我解释，可以吗？如果不正确都没关系。只是争论。明辨一下。

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原帖由 tm__xk 于 2010-3-26 16:27 发表
个人认为..排成一个数列后..最起码我任给一个正整数n,你都能明确告诉我第n项是什么数..

   其实，大家搜一搜有理数如何定义的。搜一搜历史来历，譬如谁是康托尔，谁是希尔伯特。就好解答了。
这涉及到集合的基数和势。有理数是可数集。尽管它是无限。也就是说，可以通过从小到大编排序号。一直数下去。由于他是无限集，不能用有限的数法数到第n项是几。但总能通过比较大小，看出谁编排在前面，谁编排在后面。总不能否认，它能排队这个事实吧！如果还停留在用有限的概念上理解“极限”和“无限”。就有点太那个了。你说呢？如果谁有兴趣，搜索资料，看看如何回答效果最好。希望给出标准答案。
  总之，将有理数从小到大能够排列，不是我的发明。任何实数理论或者集合论都会有记载。我之所以把这道题找出来，就是希望大家再重新理顺概念，如果有谁想考研究生，特别是基础数学方面的，是一件有意义的事情。
  这是一道近三十年前，中国科学院数学所的研究生入学考题。共三问，本题20分。我省略了最后一问。就是关于上确界的问题。
  在试卷中，还有一道经典考题。就是使用多种方法求出某个“正态函数积分”。（注意是多种方法,至少三种）本题20分。（怎么表述记不清了）

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我们是朋友。现在吗？再等等好吗？我可没有标准答案。我只是凭自己的感觉做的，不一定准确。见笑了。

[ 本帖最后由 limite034 于 2010-3-26 18:04 编辑 ]

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关于“正态函数积分”的题，如果谁喜欢数学，可以凭自己的数学知识，立定找到一两种方法。如果是五六种方法，就得查查参考书了。由于我对这道题就有准备（“压”对题了）。我的确用了五六种方法。其中一种方法就是套用概率论中给出的“正态分布的概率密度函数”积分公式。直接就可以给出答案。虽然有点“投机取巧”。搞应用数学和统计的专家喜欢。我把这“小把戏”奉献出来，如果你喜欢，可以问问老师，这么做行不行。

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原帖由 tm__xk 于 2010-3-26 19:18 发表
Q可数,"可以通过从小到大编排序号",这点没问题.
"但总能通过比较大小，看出谁编排在前面，谁编排在后面"
问题开始出现..

编排序号没问题,比如像14L.
以14L为例,任给俩数,可知谁先谁后,也没问题.
但是先后是取 ...

对于你的提醒，我就不好说了。只要给出一个子序列，有收敛性质就可以了。答案都正确。上面很多答案都符合要求。只要找到了就可以了。但是为了第二问，就得斟酌一下如何表达出来。条条大路通罗马，意思表达清楚了就可以了。从小到大排队容易表达，便于理解，便于对第二问解释。但绝不是唯一答案。你就是“跳变着”收敛也是收敛。也没错。这道题主要是考的是基本概念，没说要考从理论上如何论证。就是一道考试题，不可能写成论文。譬如。无理数如何论证。说清方法就是答案了。用“区间套”和“有限覆盖”概念解释一下就可以给分了。这是我的方法。标准答案是不是这个。我真的不知道。“我很多年没打鱼了”。
一开始还有人任为，极限点就是唯一的才叫极限呢。（别误会，可能是这个意思）。
上面的第二问得解释。还得解释。无理点怎么办，如果说“边上有一对有理数围着它呢”。这么解释，能给分吗？你说呢？

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原帖由 tm__xk 于 2010-3-26 21:47 发表
"从小到大排队容易表达，便于理解，便于对第二问解释。但绝不是唯一答案"

差得远.."有理数从小到大排列"有问题..
"任取两个都能比较前后",和"可以写成一个数列"是不一样的..

题目明明就是构造数列..
如果连这 ...

    对，能排队就可以了。我是按比较大小排队，至于你如何排队（找数列）能让别人看懂，并符合题意的要求是可以的。
    实际上，就像你说的，就是构造一个数列。实数理论中关于无理数，就是用“有理数逼近”的方法。有限覆盖和区间套。所谓的“套”（别抠字眼）就是这个“从小到大排列”的数列中的子数列。换句话：将（0，1）区间所有的理数从小到大排列所组成的数列可以以区间内任意的无理点为极限点。

[ 本帖最后由 limite034 于 2010-3-26 22:31 编辑 ]