超级数学难题，困惑多时了。

watergear

f(x)是R上的实函数，满足f(x+y)=f(x)+f(y)。f(1)=1。求f(x)。

证明：

1. 整数空间
f(x+0) = f(x) + f(0)
==>
f(0) = f (x+0) - f(x) = f(x) - f(x) = 0

数学归纳
f(0) = 0
f(1) = 1
a 为自然数, f(a) = a
==>
f(a+1) = f(a) + f(1) = a + 1

得f(x) = x，x属于N。

2. 有理数空间
对任意整数a, b
设c = (a + b) / 2
==>
a + b = c * 2 = c + c
f(a+b) = f(c + c) = f(c) + f(c)
f(c) = f(a+b) / 2 = (a+b)/2 = c

同理
设c' = (a + c) / 2, c'' = (c + b) / 2
则f(c') = c', f(c'') = c''

数学归纳（二分思想）
得f(x) = x，x为[a,b]之间所有有理数。

3. 无理数空间
无证。

watergear

二分思想，从数学分析上是显而易见的。我已经问过数学系的同学了。只不过我写的证明不够严密。

换个证明法
对于正整数n
f(nx) = f( x + x + ... )  = f(x) + f(x) + ... = nf(x)

f(x) = f( x/n + x/n + ... ) = f(x/n) + f(x/n) + ... = nf(x/n)
f(x/n) = (1/n)f(x)

对于任意有理数q = a/b（a,b为任意整数。有理数定义详见http://en.wikipedia.org/wiki/Rational_number）
f(q) = f(a/b) = f(a*(1/b)) = a * f(1/b) = (a/b)f(1) = a/b
       = q

有理数空间f(x) = x得证。

#60楼的wiki上面写错了，y = nx，应该是 y = x/n。另外没有对有理数表达进行衔接，不容易让人理解。
我修改了wiki。