三道数学题（数学发烧友不容错过）

superacid

太简单了,我做过好几遍了

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原帖由 Daiis 于 2009-6-22 12:08 发表
我也来加一题，平面上有一个1X1 的正方形，里面又28个点，求证至少能找出4个点，组成的四边形面积小于1/9。

要求这么低，只有1/9?

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楼上的是标准做法

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原帖由 lulijie 于 2009-6-23 20:37 发表
第一题，我的特例：997个点都在一条直线上，并且相邻两点的间距都相同。
证明过程可以用数学归纳法：
   平面上N个点，至少有S个红点。那么S=2N-3。
  1.  N=2时，S=1，显然结论成立。
  2. 假设N=K时，结论成立 ...

都在
第二条有问题，增加一个点不一定至少增加2个红点，
比如说原来点都在x轴上，分别为x=1,-1,2,-2,...,n,-n
此时增加一个点(0,0)，红点并没有增加

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这才对嘛......

superacid

第一小题实际上就是图论中的托兰定理：一个简单图有n个点，且没有度为3的圈，则至多连[n^2/4]条线。（忽略）
下面做第二小题
用数学归纳法：首先，4个点连3条线显然有3个三角形；
假设在空间任取2k个点，连k^2+1条线，至少有k个三角形，下面证明k+1的情况：
设原有的2k个点为C1,...,C2k,，新增加的两个点为A.B，新增加2k+1条线
若C1,...,C2k间至少有k+1个三角形，则假设成立；
若C1,...,C2k间只有k个三角形：
    首先，如果在C1,...,C2k之间再连一条线，就一定能增加一个三角形。        (1)
        如果不增加，连上这条线，去掉某一个三角形的一条边，则三角形个数小于k，与(1)矛盾。
    如果新增加的线不能和原来的线新组成一个三角形，                        (2)
        那么新增加的线必须在A与Ci，B与Ci，A与B之间相连，且不能形成三角形，因为要连2k+1条线，
        必须A与B相连且所有的Ci都与A或B相连，且仅与A,B之一相连
        设A与A1,...,As相连，B与B1,...,Bt相连，{A1,...,As,B1,...,Bt}={C1,...,C2k}
        所有的Ai与Bj之间最多连了st条线，st<=((s+t)/2)^2=k^2
        而C1,...,C2k之间连了k^2+1条线，
        所以必有Ai或Bi内部连线，不妨设为Ai与Aj连线，则AAiAj为新增加的三角形，与(2)矛盾。
所以归纳假设成立。得证。

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原帖由 edmond-xym 于 2009-6-28 07:33 发表

不止一次看您这么说他了，说实话有些看不下去了。
其实这个成绩没什么可吓唬人的，这里也有许多比他强的。再说句不中听的话上海的数学竞赛是什么水平还用说么？行里人都清楚。
我说这些并不是想比什么成绩。
成 ...

事实上，上海数学竞赛在全国处于顶尖水平，你不太清楚吧。

superacid

我也是这么想的，不要因为我数学竞赛成绩好就对我出的题目感到惧怕，我在这里讨论的内容一定是比较简单的。
请铯_猪哥恐鸣不要过多宣传。