最少点确定矩形的问题

夜的十四章

原帖由 lulijie 于 2009-1-7 00:23 发表
下面讨论  “骰迷” 的     『以最少點決定唯一長方體問題』
空间  多少个点决定长方体？
长方体6个面，6个面的方程，18个未知数
    z＝a*x＋b*y＋c
N个点确定N个等式
有2个面平行，多了1个等式
另外2个面平行 ...

呵呵,你线性代数学的很好嘛~~我咋就没想到用方程数确定未知量个数~
在这解释下,因为这些方程都是N元一次的,如果要有唯一解,就要有和未知量相同的等式才能解出唯一的解,少了一个方程,这个解就是无穷多个了!这下大家明白了么?
就比如A*X+B*Y=C和D*X+E*Y=F这两个方程才能解出唯一的X和Y,少了其中一个方程,X和Y就不唯一了,就成了无穷多解也就是成了一条直线了,只不过这道题把二元一次方程组拓展到了N元一次方程组
这也是线性代数的精髓之一啊~我咋就忘记了捏~

最后再说句~LZ你真强悍~!!!

[ 本帖最后由 夜的十四章 于 2009-1-7 07:37 编辑 ]

夜的十四章

原帖由 lulijie 于 2009-1-7 16:56 发表
修正  “骰迷” 的   『以最少點決定唯一長方體問題』
空间  多少个点决定长方体？
长方体6个面，
    面方程可表示为 z＝a*x＋b*y＋c
    6个面方程，18个未知数
点在面上，那么点的坐标满足其中的一个面方程， ...

AX+BY+CZ+D=0是直线的形式而不是面
A1X+B1Y+C1Z+D1=0和A2X+B2Y+C2Z+D2两式连立才能构成一个平面
所以6个面最多需要12个式子确定,至于垂直不垂直,只与ABCD有关与XYZ无关
如此看来点可以在12个或者12个以下了~

46楼说的没错,是我记反了~~,所以上面这些解释可以当它是废话了``

[ 本帖最后由 夜的十四章 于 2009-1-10 14:47 编辑 ]

夜的十四章

确定一个平面,首先要有三个点,而且这三点不共线
一个长方体内需要确定2个相邻面的法向量,可以求出第三面的法向量
而一个点再加一个向量可以确定一个面
那么有6个面,就需要6个点,和2个法向量,少一个点,就会使这个面和对面面的距离无法确定,所以一定需要这6个点,是这至少6点的必要性,这些点不可能在两两面交线上,否则就失去了存在的意义
那么法向量需要几个点来表示呢?
我们知道法向量是垂直于平面的,而平面需要由3个法向量来表示,我们需要两个法向量就需要确定两个平面
而一个平面需要3个点确定,两个平面就需要6个点来确定了
现在这6个点不排除与刚才的6个点重复,也就是说,无论重复与否,我们用6个点一定有办法确定2个平面,就能求出这2个面的法向量,再根据这2个法向量可以求出第3个和它们2个向量都垂直的第3个向量
和前面确定距离的6个点加起来
我们最多需要12个点确定一平面
之前有人求证出需要7个点或更多
所以这题目的答案只可能在7~12之间了!

[ 本帖最后由 夜的十四章 于 2009-1-8 05:28 编辑 ]

夜的十四章

我是这么认为的,或许不够严谨,不过值得推敲:
首先,解一个长方体,就是解出这六个面的方程,就象割豆腐,如果你把豆腐的六面都切一刀,无论这刀有多深,这个豆腐的形状一定是固定不变的,就算你横的那一刀有几十公里``呵呵这里开我小玩笑
言归正传
3点确定一法向量,这三个点需要在同一面上,也就是这2个法向量中的任何其中一个只可能和之前6个点中间的最多1点有关系,那么由于我们有2个法向量,故只可能与2个点有联系,而且这2个点不会是同一个点,也就是说12个点中最多有2个点是重复的
所以12-2=10也就是10个点确定一个长方体!

唯一性要用线代去计算了,好象有个A*B-C*C>=<0的三情况,还有好象用λ控制的东西,我都忘记了,惭愧惭愧..

[ 本帖最后由 夜的十四章 于 2009-1-8 05:54 编辑 ]

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n元线性方程组Ax=B
有唯一解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)=n
R(A)是A的秩,R(A,b)是B的秩也可写成R(B)
就要证明R(A)=R(B)=n
若R(A)=R(B)[=N]<n则有无穷解(中括号中的N表示的是我们的最少需要方程数,即最少未知数数量,也是这个方程的秩r)
所以转化成求R(A)的秩,而它的秩就是最少公式数[我们默认A为满秩矩阵,故R(B)==R(A)]

不会算啊555谁会根据我35#的解释来用线代计算出它的唯一性???

[ 本帖最后由 夜的十四章 于 2009-1-8 18:40 编辑 ]

夜的十四章

有没人对我25#的帖子发表质疑呢?

还有水磨鱼同学,不要再把点做成面来考虑了,因为点和面在空间上是完全不同的概念,一个点在空间上表示的是三个面的交点,而面只需要一个方程去约束,所以说你把点看成了面,就相当于取了无穷多个点,而且这面上的无穷多点都要落在那个面上,无法转动,也就确定了一个面的朝向
可如果是点,任意面经过这个点都可以随意的转动,朝向却是不确定的,如果想不通,可以问问数学老师点和面在空间直角坐标系下建立的方程有何不同,不要再说把点看成面这样的话了..否则又要另外开贴了~

[ 本帖最后由 夜的十四章 于 2009-1-8 16:59 编辑 ]

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原帖由 骰迷 于 2009-1-8 10:38 发表
回答問題二
我認為無論多少點都不可以。
因為無論你選多少點，長方體仍然可以無限大。

这只是主观看法,所有的结论都有一段严谨的推导过程的,这题目的复杂程度远超过我的想象啊5555现在才知道自己学的不够~

呵呵我引用错了不好意思^^

[ 本帖最后由 夜的十四章 于 2009-1-8 18:23 编辑 ]

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原帖由 noski 于 2009-1-8 17:09 发表


5个点能唯一确定一个xyz直角坐标系吗？
35137

LS很对~
我也认为至少要6个点才能建立一个坐标系~~
因为3个点才能确定一平面的方向,再加3个点才能确定另外一个平面的方向,然后再作这两个面的公垂面~否则无法排除仍然有其他组合也同时满足条件的可能,也就是我说的唯一性

[ 本帖最后由 夜的十四章 于 2009-1-8 18:54 编辑 ]

夜的十四章

我做出来了,请看我的帖
http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=19654&page=1&extra=
因为各点都只能在自己的平面上移动,长方体的面只有平行和垂直的关系,非平行即垂直~
而其他的任何两点,想和该平面的点联合起来与另外一个平面垂直,只需要原先这平面的点略微移动位置,就无法垂直~而且不影响到其他的9个点

[ 本帖最后由 夜的十四章 于 2009-1-8 23:48 编辑 ]

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原帖由 剑齿怪杰 于 2009-1-8 19:45 发表
6个点是无法确定一个直角系的。
假设有六个点，其中任意3个可以定一个面，另外两个点能确定一根直线，这根直线（按比较好的情况讨论）不垂直刚刚定的面，它就能确定唯一平面垂直刚刚定的面，再过剩余一点能做一个面 ...

我认为6个点虽然确定不了直角系,但是已经把方向确定了,只是没有确定原点在哪里