二阶魔方公式的周期有多少种?

hubo5563

不可能有周期是32的公式
由于二阶魔方状态群共3674160
因为任意一个公式的周期数一定是状态数的因数，而3674160=2^4*3^8*5*7
是2的4次乘3的8次乘5乘7，2的次数是4，所以不可能有2的5次的元素。
虽然14和16都是3674160的因数，但可以断定没有周期是14的公式，也没有周期为16的公式。

hubo5563

黑白子 发表于 2016-1-10 11:44
因为2阶魔方最大周期是45，除去不是状态数因数的，还有14和16您已经排除了。由此可知，二阶魔方公式可能的 ...

也不可能有20，28，35，40，42
因为20阶循环群必有4阶元素和5阶元素，四阶元素只能是换位，5阶元素也只有换位，没有转向，共7个位置，去掉4个换位，只剩3个，所以，有4阶元素就不可能有5阶元素，因此，不会有20阶元素。也就是二阶魔方公式的周期不会有20。同理，也不会有35，40，42.
你列的几个数可以肯定有{1，2，3，4，5，6，7，9，10，12，15，18，21，30}
由于二阶相当一个角不动，动的块只有7个，因此，也不可能有8阶元素，因此，二阶魔方公式的周期也不会是8。

hubo5563

黑白子 发表于 2016-1-10 21:33
谢谢胡波老师!那就只剩下{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，12，15，18，21，27，30，36，45}这18个数了， ...

你说最大周期是45，我怎么也想不到这个公式是什么？
任何一个公式都把复原的魔方转到某个状态，二阶魔方状态无非是7个角块任意排列加上角块转动。
如果这个公式存在，它有5阶元素，7个角块减去5个剩2个，因此，这个公式不会有位置的三循环，只有方向转动。如果，五个角块循环的过程中有一个角块转动，那么做15次公式，这5个角块肯定复原，另两个角块如果有换位，那么6次也能复原，公式就有2阶元素，45阶循环群是不可能有2阶元素的，所以，另两个角块是没有换位的，只有转向。那么每做3次公式，那两块也能复原，因此做15次，那两块也能复原，所以，公式就是15阶的，与假设矛盾。因此，不可能有45阶公式。
27也没有，最后只剩下2，3，4，5，6，7，9，10，12，15，18，21，30，36这14个了。
2，3，4，5，6，7这只有换位的群就存在这样的周期，
9，换位三循环，并且这三个角块只有一个反转，那么做三次公式，相当位置复原了，但方向角都转了一下，因此，这个公式的三次还需要三次才能复原，所以，需要9次。
10，有一个5循环，和一个2循环，周期是10；
12，一个4循环，一个三循环，周期是12；
15，一个5循环，循环里边还有一个转向；
18，一个6循环，循环里边还有一个转向；或者有一个三循环，循环里有一个转向，另有一个二循环；
21，一个7循环，循环里边还有一个转向；
30，一个5循环，一个2循环，循环里有一个转向；
36，一个4循环，一个3循环，3循环里有一个转向。

知道周期是45是怎么形成的了。

hubo5563

二阶魔方公式也不存在周期是21的，原因是角块不能独立转动。周期21时必有7轮换，包括了二阶魔方的所有可动块，魔方转动没有独立的角块转动，也就是说7个角块转动的总和应当是3的倍数，这样，做7次公式，魔方位置复原的同时，各个角块转动总和应该是3和7的倍数，并且由于位置正好循环一次，每个块转动次数是相等的，因此是3的倍数，也就是复原状态。因此操作7次后，魔方就复原了，他的周期是7。
以上结论不正确，原因是，二阶魔方8个角块都能动，8个角块转动总和应当是3的倍数，7个角块转动总和有可能不是3的倍数！

hubo5563

乌木 发表于 2016-1-11 11:48
11楼链接中那个帖子说最大周期是45，参照物是魔方的周围环境（即观察者）；而胡老师的分析中，参照物是 ...

是的，二阶魔方的确有一个块不能运动，受这个影响得出的结论。
URUL不满足有一个角块不动。
这样来说，我的基于一个角块不动的结论都是错的，因为任意一个角块都可以动。
二阶魔方公式周期有可能是8，21，45了。

hubo5563

黑白子 发表于 2016-1-11 09:49
U R U L的周期是45，我这里java 有问题，无法贴出，您可以验证一下。

知道周期是45的是怎么形成的了。
魔方整体转动后，不等于没转动的魔方。

hubo5563

二阶魔方参照物不同确实结论不同。
      二阶魔方状态数3674160是在参照一个不动角块下得出的，若参照环境，状态数就不止这些了，应该是它的24倍，因此就有，8，21，45阶的公式了。
      在参照一个不动角块，比如，前左下角块，魔方不能有F、L、D转动，这样，二阶魔方状态数就是真实状态数，并且不会有8、21、45阶的公式了。
      三阶魔方如果不转动中层，不整体转动，那么就是参照自身中心块，如果可以转动中层，就是参考环境了，那么状态数是实际状态数的24倍，魔方公式周期肯定不一样了。
     
      三阶魔方如果参照环境，公式周期数只能包含2，3，5，7，11素因子，2的指数最多是4，3的指数最多2，其它素数指数是1。
     如果有11，那么2的指数最多是3。
     最大周期可能是5乘9乘7乘8=2520。
     8个角块，有45阶的，棱块有7阶循环，12减去7等于5，所以有4循环，四循环中如果有一个翻棱，那么周期就是8，这样周期就是2520了。