关于魔方最少步数的问题

lulijie

某个角块，被转动了奇数次，要回到原位，也必须转动奇数次；若被转动了偶数次，要回到原位，也必须转动偶数次。这是对的。
但某个角块转动步数的奇偶性又如何与总步数的奇偶性发生关系呢？总步数的每一步并不是都涉及到这个角块的转动。

lulijie

鄙人对魔方理论非常无知，什么  簇、态，循环变换等等，如听天书。
看了版主 各类“奇偶差异性魔方”的判定及性质 里的对序列逆序数、奇偶性的定义，立即觉得有种豁然开朗的感觉。
虽然没有看完版主后面的叙述，我已有了自己的一些看法和认识，请大家指教。
对于普通的正六面体3阶魔方。按照中间层不允许转动的规定，一共只有12种转法。
6个中心块：无论如何旋转位置始终不变，不予考虑。
8个角块：给8个角块编号以区别（1、2、3、4、5、6、7、8）我们按照这8个角块所在的位置，按顺序排成一个序列，用该序列代表该魔方角块状态（对于目标状态，序列排列为12345678，该目标状态对应的序列的逆序数为0）。
魔方角块的一个状态X（8位数的一个序列），一步转动后形成新的状态Y，对比前后两个序列，该转动实际上就是序列中的4个数字循环交换位置（比如4→3，3→7，7→8，8→4）。N个数字循环变换，实际上就是N-1个两两互换（比如，先4←→3，再3←→7，最后7←→8），而每一次两两互换，必然造成序列的逆序数的奇偶性发生变化，故N个数字循环变换，相当于N-1个两两互换，故N为偶数，则序列的奇偶性发生变化；N为奇数，则序列的奇偶性不发生变化。同移动数字的问题贴中，骰迷判断数字九宫排列的奇偶性非常相似。
        魔方的一步转动，是序列中的4个数字循环交换位置，N=4为偶数，故序列的奇偶性发生变化。
        也就是说，魔方的每一步转动，对角块的奇偶性（角块的奇偶性即角块对应序列的奇偶性）发生的变化，所以魔方偶数步打乱，也必须偶数步还原，奇数步打乱，也必须奇数步还原。
12个棱块：同理，对棱块的位置也可用序列来分析，得出与上述相同的结果。
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综上所述，骰迷的结论  魔方偶数步打乱，也必须偶数步还原，奇数步打乱，也必须奇数步还原。 是正确的。
所以本贴的魔方状态X和Y（Y由X的一步转动而得）的最少步数不可能相同。
                  





[ 本帖最后由 lulijie 于 2009-2-15 15:32 编辑 ]

lulijie

对于  奇偶差异性魔方” 的定义：
我觉得不必采用
     不存在步长为奇数的循环变换    来定义。
只要定义：   魔方的每一步转动 ，若造成全是 偶数个同类块轮换，就是奇偶差异性魔方，若存在奇数个同类块轮换，就是非奇偶差异性魔方。 （ 例如所有的角块都是同类块，所有的棱块也都是同类块）
例如：普通魔方，每一步转动，都造成  4个角块轮换，和4个棱块轮换，所以必然造成序列的逆序数奇偶性发生变化，所以必是奇偶差异性魔方。
而其他魔方，若存在某一种转动，造成的是  奇数个角块轮换或奇数个棱块轮换或奇数个同类块轮换，那么不造成序列的逆序数奇偶性发生变化，所以它们就不是奇偶差异性魔方。