超级数学难题，困惑多时了。

conwood

问一下如何证明单调递增

原帖由 无限正义 于 2009-6-9 17:02 发表
首先能够判断f(x)是奇函数，图像过原点。然后能判断是单调递增，再然后……

conwood

在wolframalpha上，输入f(x+y)=f(x)+f(y)，答案是f(x)=cx，加上有f(1)=1，所以答案应该是唯一的

原帖由 Cielo 于 2009-6-9 23:42 发表
呵呵应该有无数个函数满足条件吧！

conwood

这个连续性的证明是错误的
你不能从f(0)=0推出来lim_{t\to 0}f(t)=0

原帖由 rubik-fan 于 2009-6-10 01:14 发表
f(x)=f(x+0)=f(x)+f(0)=>f(0)=0
又f(0)=f(x-x)=f(x)+f(-x)=0=>f(x)=-f(-x)即f（x）是奇函数。证明连续性：t-0时的极限limf(x+t)=limf(x)+limf(t)=f(x)即f(x)在任意x处是连续的。
现在证明了连续性和单调性。剩下的 ...

conwood

这个用1=f(1)=f(1/3)+f(2/3)=f(1/3)+f(1/3)+f(1/3)可知吧

原帖由 superacid 于 2009-6-17 15:55 发表
你怎么证明 f(1/3)=1/3 ?

conwood

嗯，期待哪位能给出一个反例来，就一切都清晰了
虽然这个反例可能比处处连续处处不可导那个更诡异

原帖由 Cielo 于 2009-6-10 09:48 发表


但是题目里面没有要求函数是连续的，所以会有其他答案吧！

conwood

原帖由 yq_118 于 2009-6-9 16:07 发表
太难了，实在想不出来，期待有高手帮忙解决。

f(x)是R上的实函数，满足f(x+y)=f(x)+f(y)。f(1)=1。求f(x)。

就两个条件，不要添其它条件啊！

答案是显然的，希望有过程。

参考资料：
http://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy_functional_equation

从参考资料中可得到的结论(如果我理解的没错)：
1. 这个方程在有理数集合上的解f(x)=x是可证的，而且是唯一的。
2. 这个方程在无理数集合上的解不是唯一的，f(x)=x只是一个可能的解。

简单翻译一下参考资料：

柯西函数方程是表达形式最简单的函数方程(所谓函数方程，指含有未知函数的等式，具体可以用维基百科或百度百科查)之一，但是其在实数上的解却是极复杂的。这个函数的表示形式是：

f(x+y)=f(x)+f(y)
在有理数集合上，使用简单的代数就可以知道唯一的一族解f(x)=cx，其中c是任意的常数。这个解在实数集上也生效，加上一些限制，就可以把其他的解排除。比如：

• 如果f是连续的(Cauchy(柯西),1821年证明)，这个条件在1875年被Darboux减弱成f在至少一个点上连续。
• f在任意区间是单调的
• f在任意区间是有界的

如果没有额外的约束条件，在承认选择公理的前提下，这个函数方程有无穷多的解。这点在1905年被Georg Hamel证明。Hilbert(希尔伯特)第5问题是这个方程的一般情况(generalisation)


有理数下的证明(比较简单，略)
First put y = 0:
Then put y = − x:
Then by repeated application of the function equation to we get:
And by putting y = nx:
Putting this all together, we get:
Putting α = 1 we get the unique family of solutions over .



其他解的性质
我们下面证明其他的任意的解都必须是高度变态(pathological)的。特别的，我们证明任意的非平凡解y=f(x)的图像是致密(dense)的，也就是说，在平面内任意的圆内(不管多小)，里面必然包含了函数图像上的一个点。从这点也可以简单的证明，在前面提到的几个约束条件下，解必须是f(x)=cx


这个证明也不在这里翻译了，请去wiki原始页面查看。

使用选择公理的非平凡解的存在性证明也在wiki原始页面上有，请有兴趣的同学去看。

conwood

关于选择公理，可以看松鼠会上的长度是怎样炼成的(四)，下面给出全部四篇的链接，以及选择公理相关的部分摘抄。


长度是怎样炼成的(一)

长度是怎样炼成的(二)

长度是怎样炼成的(三)

长度是怎样炼成的(四)

3. 不可测集与选择公理、数学的严密性
回顾一下“不可测集”这个词的意思：在勒贝格测度的意义下，总有一些集合是没办法定义测度的，这样的集合称为不可测集。同时已经被我们反复指出过的一点是：一个没受过专门数学训练的人所能想象到的任何古怪集合其实都是可测的，不可测集非常罕见。
不可测集的存在是数学中中一件令人遗憾的事实，要是能给直线的任何一个子集定义长度，这样的理论该有多么漂亮啊……数学中常常有这样的情形，一个人们通过直觉认定的美妙设想，偏偏被一两个好事者精心构造出的反例破坏了，但是数学毕竟受制于逻辑，不管一个反例多么煞风景，只要它确实成立，数学家也只好接受它。
可是不可测集这个例子有点不同：构造不可测集，用到了选择公理。
这件事情说来话长，简单的说，我们都知道整个数学是建立在一些很显然也很直观的公理之上的，这些公理大多数都是诸如等量之和为等量之类的废话，可是选择公理稍微复杂一点，它是说：
任何给定一组非空集合，我们总能从其中的每一个集合里取出一个元素组成一个集合。
也像废话一样，是吧，可是这句话多少有点罗嗦，不像等量之和为等量一样简单明了。于是人们对它多少有所争议，有人认为它不应当排在基本公理之内。可是毕竟这句话也挑不出什么错，而且人们很快发现，很多很有用的数学结果离开选择公理就变得很难证明或者根本不可能证明，于是将就着也就承认它了。
可是不可测集的存在却又掀起了人们的疑虑，反对选择公理的人说，看看吧，要是没有选择公理，也就没有不可测集了。
赞成的人反驳说，不可测就不可测呗，有什么大不了的……虽然整个理论确实变得不那么完美了。——他们不知道更大的问题还在后面。1924年，波兰数学家巴拿赫（Banach）在选择公理和不可测集构造法的基础上，证明了石破天惊的“分球定理”：一个半径为1的实心球，可以剖分成有限的若干块，用这些块可以完整地重新拼出两个半径为1的实心球体！
这一下引起轩然大波，反对选择公理的数学家们声势大振，认为选择公理完全是troublemaker，必欲除之而后快。赞成选择公理的数学家们则指出选择公理“功大于过”，毕竟有很多有价值的数学成果出自选择公理的基础。双方僵持的结果是大家各行其是，大多数数学家承认选择公理，同时忍受巴拿赫分球定理所带来的不适感，少数数学家坚持不要选择公理，为此失去很多别的很有用的定理也在所不惜。
这一僵持局面维持了很多年，直到二十世纪的中叶才被戏剧性地解决。人们在不承认选择公理的假设下构造出了一大堆比巴拿赫的球体更严重的反例（例如一个空间同时有两个维数）。这些反例不只像巴拿赫的例子一样违反直觉，而且还严重的破坏了大多数已有的数学结果。于是人们发现，承认选择公理也许是必须的，而像巴拿赫的反例那样的反直觉的结果，也只能被迫承担下来了。
所以到今天几乎所有的数学研究都是在承认选择公理的基础上进行的。虽然作为一种后遗症，人们总是会时不时地谨慎的在使用选择公理的时候加上一句声明：“本文依赖选择公理。”——这也许是这条公理的一个特殊待遇了。
以上便是这段公案的来龙去脉。很多人可能在读完这段故事之后疑虑重重。什么啊？数学家们难道是这么随便的确定公理体系的么？如此的实用主义，似乎全然置真理的地位于不顾的样子。很多人可能还会想起欧几里德第五公设的故事，觉得数学家们原来如此不负责任，带给人们的不是一套严整规范的理论体系，而是一个支离破碎的混乱图景。连公理的问题都搞不定，整个数学岂不是空中楼阁？
限于篇幅，这篇文章不可能对这个问题予以展开论述，可是至少我们可以澄清一个常见的似是而非的误解：数学是严密性的科学，数学的发展也只有在严密的公理化基础上才能得以实现。
这句话——至少在字面上——是对的。不可测集的例子本身就说明，为了严密性，数学家们甚至不惜放弃直观，——像巴拿赫球那样的例子尽管如此怪诞，可是它是严密逻辑的产物，数学家也只好承认它的存在。
可是在更宏观的层面上，这句话却是错的。前面提到的分析学就是很好的例子：微积分的思想的提出是在十七世纪，在随后的十八世纪里取得了丰硕的成果，可是它的严密化却直到十九世纪下半叶才真正得以实现。测度论是另一个例子：“测度”是人们对于长度这个词的直观理解的严密化，可是这并不是说，在测度论被提出之前的漫长岁月里人们对于长度都一无所知，恰恰相反，人们已经知道了相当多的事情，只是等待测度论的语言让一切都变得精确和完整而已。
所以数学的发展实质上是一个拖泥带水的过程，一代又一代崭新、充满活力却又粗糙的思想被提出来，人们意识到它的重要性，予以发扬光大，产生一系列重要的成果同时又带来困惑，直到崭新的数学语言诞生，清理战场，让一切显得井井有条，像教科书上的文字一样道貌岸然，而同时却又有新的粗糙的思想诞生了……在这个过程里，严密性始终只是一个背景，尽管无处不在，可是并不占据舞台的统治地位。数学家们在意严密性，追逐严密性，甚至不惜为了严密性而牺牲看似有价值的学术成果，可是严密性并不是数学发展的引领旗帜，从来都不是。
这就是为什么同很多人的误解相反，大多数数学家其实并不关心那些关于数学基础的哲学性的争论，这也就是为什么我把眼前这些讨论放进附记的原因——一件事情是不是关系到数学的逻辑基础和这件事情在数学上是不是重要一点关系都没有。所有这些故事：可数与不可数、可测与不可测、选择公理等等，都是和二十世纪初所谓“第三次数学危机”的大背景联系在一起的，那段时间里数学家之间产生了无数纷争，可是今天的数学学生们在严肃认真地学习集合论和测度论的同时，却只对那些八卦付之一笑，作为茶余饭后的谈资。——事实上，即使在二十世纪初，也有大量的数学家根本不关注这件事情或者压根就采取了日后看来是错误的立场（反对康托，反对不可数集的概念，等等）却同时又在自己的领域里作出了重要的甚至是历史性的贡献。
关于那个所谓的“第三次数学危机”，有一本著名的科普著作《数学：确定性的丧失》[2]专门讨论了它。这本书内容相当详尽，不幸的是它所引起的误解和它阐明的事情一样多。关于这次“危机”的描述主要集中在第十二章，那一章的结尾倒是相当深刻，值得特别引用在此：
“一个寓言恰如其分地概括了本世纪有关数学基础的进展状况。在莱茵河畔，一座美丽的城堡已经矗立了许多个世纪。在城堡的地下室中生活着一群蜘蛛，突然一阵大风吹散了它们辛辛苦苦编织的一张繁复的蛛网，于是它们慌乱地加以修补，因为它们认为，正是蛛网支撑着整个城堡。”

conwood

这要感谢 “铯_猪哥恐鸣” ，他告诉大家这个方程的名字，于是我去wikipedia上搜了一下了。

原帖由 yq_118 于 2009-6-17 21:41 发表
好晕好晕
楼上哪里找的资料啊。