[原创]对称性与魔方

rongduo

对称性与魔方

我以为，对称性是魔方的灵魂。任意一种魔方理论，比如可以是唯象的（拟经验的）、也可以是非唯象的或演绎的，可以是群论观点的、也可以是排列论观点的，等等，但都不能无视对称性的存在。远离对称性其行必然也不远。

对称具有一定的复杂性。这有两层意思：一是我们通过直观察觉到的或在中学数学中学到的对称性，仅仅只是较少的一部分。就普通三维空间（还不包括时间或多维空间）而论，基本的对称就有十几种之多。举例说，你和镜中的你是一种对称，你和站在你对面的孪生兄弟又是另外一种对称；而对面那个孪生子如果他高兴用头倒立，那又是一种很不同的对称了。至于由基本对称复合而成的更复杂对称更是不计其数。其二，对称在很多时候并不一目了然。未被转乱的魔方的图案和其它某些魔方图案具有明显的对称性，但一个被完全“转乱”的魔方其实也有着“严整”的对称性。这后一类对称因其不易察觉，就需要借重于数学来分析描述了。

不考虑中心块，直觉上看，我们从对称的初始状态出发，任意一次转动都保持着一定的对称性：8个方块分为两组被对称地移动了。很难想象最初的对称经过很多次对称的转动后，能够忽然变得不对称了！

对称的图案在数学上常常称为偶置换。易知转动正负90度，8个方块形成两组轮换；转动180度，8个方块分两组形成两两对换。而这两组轮换和两两对换，从数学的角度来看可以划归为同类：都叫作偶置换。初始状态图案被称为零置换，也是一种偶置换。一个偶置换加上一个偶置换，其结果仍是一个偶置换。对称性就这样被保持或继承下来了——这不是臆想，而是经过严格证明的东西。

有两个被人们反复提及的实例，认为似乎可以用来反驳对称性：三方块的轮换和三个角块的扭转。前一疑难我已不止一次地分析过 （《魔方组合原理》中有，另见http://bbs.mf8-china.com/dispbbs.asp?boardID=15&ID=3149&page=1一楼）。后一疑难在《魔方组合原理》中也有论述，这里我想换一个角度来思考。

按照对称性的原则（跷跷板原理其实是对这一原则的形象性的说法），角块A发生正120度扭转，必有一角块B扭转负120度。现在假定某些转动使得某一角块C与B发生关联扭转，且C正好扭转了正120度，B则只好再扭转负120度——我们知道，两次扭转负120度相当于一个正120度的扭转。这样A, B, C三块此时皆扭转了正120度——这就是所谓的三块同向扭转的难题。由以上分析可知，这仍然是对称性的表现，只不过是一种隐藏的对称性。

群论是研究对称的利器，有人甚至把它称为“关于对称的数学理论”。仅用群论（连跷跷板原理也不需要）就可以很好地描述魔方（见http://bbs.mf8-china.com/dispbbs.asp?boardID=15&ID=3176&page=1），但这需要一定的知识基础，所以不易普及。跷跷板原理可以填补普及的空档（且不失严密性），它的理论作用在于能把复杂的群论遮挡起来，就好像我们用视窗屏幕把计算机内部的复杂性屏蔽起来一样。

真诚地希望有更多的魔友能从对称性的角度重新审视魔方，又希望没有机会学习近世代数的朋友尝试读一点关于对称的普及读物。比如《时间简史》（霍金）第五章，《可怕的对称》（阿·热）以及李世春教授的《魔方的科学和计算机表现》等。这些书中虽然没有我们所要的现成的答案，但足以启人心智，使我们对对称的认识达到一个新的境界。

rongduo

QUOTE:

以下是引用ggglgq在2006-12-25 9:41:35的发言：

 

    感谢 rongduo 先生为 魔方理论（不只限于 正六面体三阶魔方，理论可以在 空间对称魔方
中推广拓展）作出的理论铺垫！

    限于本人水平有限，仅为 rongduo 先生的理论提供下面几个具体样例做参考，预祝 rongduo
先生的理论有更广泛的应用。

你所发的第一图，对对称作了更细致的区分，这倒是我忽略了的。但由于我只会玩鲁毕克魔方，第二图我就看不懂了。惭愧。

魔方的对称性是显然的，首先是立方体，它的对称性除了球体没有任何图形能超过。你可以“颠覆”某种理论，但无法“颠覆”魔方的对称。对那些大胆非难对称性的人，咱们只当他闲着无聊，自己在那里对着太阳吐唾沫玩儿。

我注意到李世春教授的书主要关注的是转动的对称性，而以前常期使我困惑的则是图案的对称性以及开解法的有效性。《魔方组合原理》正是思考那困惑的结果。

祝好，周末见！

[此贴子已经被作者于2006-12-26 8:25:41编辑过]