魔方吧·中文魔方俱乐部

标题: 由魔方的相似变换分析整体翻转的性质 [修复贴] [打印本页]

作者: ggglgq 时间: 2013-9-11 20:22:00 标题: 由魔方的相似变换分析整体翻转的性质 [修复贴]

　　
　　
　　
　　

应黑白子的要求，现将主题帖《由魔方的相似变换分析整体翻转的性质》

   http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=viewthread&tid=8598

修复一下。请大家注意，所有内容都是原帖内容的翻版，如有定义、论述与现行的

定义、论述发生冲突，本人就不再纠错了，以保持原有内容的“原汁原味”，请各位

魔友谅解。

　　
　　
　　
　　
　　
　　

作者: ggglgq 时间: 2013-9-11 20:22:45

　　
　　


一、魔方相似变换的定义


   1、魔方相似变换的定义：

   设 A 、B 、X 为魔方任意变换，并且满足 B = X' A X ，则称变换 B

是变换 A 的相似变换。


   由魔方相似变换的定义，得到若变换 B 是变换 A 的相似变换

那么存在变换 X 使得  B = X' A X ，

   则 X B X' = X ( X' A X ) X' = ( X X') A ( X X') = A

   即 A = X B X'  ，从而反过来得变换 A 也是变换 B 的相似变换。


   故满足 B = X' A X 时，我们称变换 A 、变换 B 互为  相似变换  。



   顺便说一下：相似变换  具有反身性、对称性、传递性等性质。


　　
　　
　　

作者: ggglgq 时间: 2013-9-11 20:23:08

　　
　　


   2、魔方相似状态的定义：


   我们对魔方的复原状态进行变换 A 的操作后得到的状态称为

状态 A ；同样对魔方的复原状态进行变换 B 的操作后得到的状态

称为状态 B ，等等。


   如果  变换 A 、变换 B 互为  相似变换  ，我们称它们所对应的

   状态 A 、状态 B 互为  相似状态



   同样  相似状态  也具有反身性、对称性、传递性等性质。




   由于状态被变换  唯一确定的特殊关系，因此很多时候

我们把状态 A 也称为变换 A ，在不太严谨的时候或通常我们可以

把  状态 A  称为  变换 A ；  把  相似状态称为相似变换  。





　　

作者: ggglgq 时间: 2013-9-11 20:35:33

　　


      3、相似变换不改变魔方的环结构（证明从略）。

      请大家参考：循环公式的一种现象（作者：大烟头）

      http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=562

      我来玩玩正六面体三阶魔方－－－《循环公式》（本人拙作）

      http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=181

      由相似变换不改变魔方的环结构，直接得到：

      如果变换 A 、变换 B 互为  相似变换，则它们的最小循环

周期相等。  （也可用 B = X' A X  直接证明，证明很简单从略）


      输入并查看公式环结构  等  的软件：

   http://www.randelshofer.ch/cubet ... ister1.0.3.1Win.exe


   正六面体三阶魔方环结构 Java 软件，可惜是一开始是德国语法，

每次都需要设置：  　　相似变换不改变魔方的环结构.rar (854 Bytes, 下载次数: 5)

2013-9-11 20:32:43 上传
下载次数: 5

　　
　　
　
　　
　　例子.png

附件: 例子.png (2013-9-11 20:33:32, 13.44 KB) / 下载次数 150
http://www.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=MjIyNzAxfDI2ZmE5Nzc2fDE3NjE4MzkxMzd8MHww

附件: 相似变换不改变魔方的环结构.rar (2013-9-11 20:32:43, 854 Bytes) / 下载次数 5
http://www.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=MjIyNzAwfDRiOTVkMmI2fDE3NjE4MzkxMzd8MHww

作者: ggglgq 时间: 2013-9-11 20:37:27

　　
　　



   二、由魔方的相似变换分析整体翻转


   我们知道如果 A 、B 、X 满足 B = X' A X ，则称变换 B 是

变换 A 的相似变换。并且相似变换不改变魔方的环结构。因此

我们由魔方的相似变换分析魔方的 “整体翻转” 。设魔方的某个

整体翻转为 Z ，下面我们看看这个整体翻转 Z 都有那些性质。




　　
　　
　　
　　

作者: ggglgq 时间: 2013-9-11 20:38:27




      1、把整体翻转  Z 当作 X 的性质： B = Z' A Z

         此时 A 与 B 的关系为自同构，Z 的功劳不可低估，

      相关内容请大家参考：

         最远态小于26步之论文摘录（作者： noski）

         http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=6704

         正六面体二阶魔方自同构实例 26 ～ 40 楼（本人拙作）

         http://bbs.mf8-china.com/viewthr ... page%3D1&page=3




　　
　　
　　

作者: ggglgq 时间: 2013-9-11 20:39:42

　　
　　



      2、把整体翻转  Z 当作 A 的性质： B = X' Z X

      此时 B 与 Z 的关系当然为整体翻转的相似变换。

      不同的 X 、Z 就有不同的相似变换，而且这些相似变换

全部都是整体翻转的相似变换。



      整体翻转  Z 对于正六面体 N 阶魔方有 24 个不同状态，

对于其他各类魔方各不相同，却都还是  定值。


      但 X 就大不一样了，不同的 X ，相同的 Z ，其 B = X' Z X

的个数与 X 、Z 的关系比较复杂。


      当然，不同的 X ，不同的 Z ，其 B = X' Z X 中 B 的个数与

X 、Z 的关系还要复杂，还是留给大家研究吧。（本人比较忙）


   下面给大家一些“正六面体三阶魔方”简单的例子，让大家领悟魔方

整体翻转并不简单。  也希望大家积极跟贴探讨研究魔方整体翻转的各种

性质。  我在这里算是抛砖引玉了。
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　

作者: ggglgq 时间: 2013-9-11 20:50:12

本帖最后由 ggglgq 于 2013-9-11 20:55 编辑

Z = CU	X = R	B = R' CU R
[java3=200,200] [param=scrptLanguage]SupersetENG[/param] [param=scrpt]CU[/param] [/java3]	[java3=200,200] [param=scrptLanguage]SupersetENG[/param] [param=scrpt]R[/param] [/java3]	[java3=200,200] [param=scrptLanguage]SupersetENG[/param] [param=scrpt]R' CU R[/param] [/java3]

作者: ggglgq 时间: 2013-9-11 20:56:25

本帖最后由 ggglgq 于 2013-9-11 20:59 编辑

Z = CU CB	X = R F'	B = F R' CU CB R F'
[java3=200,200] [param=scrptLanguage]SupersetENG[/param] [param=scrpt]CU CB[/param] [/java3]	[java3=200,200] [param=scrptLanguage]SupersetENG[/param] [param=scrpt]R F'[/param] [/java3]	[java3=200,200] [param=scrptLanguage]SupersetENG[/param] [param=scrpt]F R' CU CB R F'[/param] [/java3]

作者: ggglgq 时间: 2013-9-11 21:01:43

　

Z = CU CB CF	X = R F'L	B = L'F R' CU CB CF R F'L
[java3=200,200] [param=scrptLanguage]SupersetENG[/param] [param=scrpt]CU CB CF[/param] [/java3]	[java3=200,200] [param=scrptLanguage]SupersetENG[/param] [param=scrpt]R F'L[/param] [/java3]	[java3=200,200] [param=scrptLanguage]SupersetENG[/param] [param=scrpt]L'F R' CU CB CF R F'L[/param] [/java3]

作者: 嘉芯饼干 时间: 2013-9-11 21:09:48

这个看起来好深奥啊

作者: ggglgq 时间: 2013-9-11 21:10:37

本帖最后由 ggglgq 于 2013-9-11 22:09 编辑

　　
　　
　　


   上面给大家一些“正六面体三阶魔方”简单的例子，让大家领悟魔方

整体翻转并不简单。  请大家观察这些例子的 Java ，留意 Z 与 B 的

相似状态。




      输入并查看公式环结构  等  的软件：

   http://www.randelshofer.ch/cubetwister/files/installCubeTwister1.0.3.1Win.exe


   正六面体三阶魔方环结构 Java 软件，可惜是一开始是德国语法，

每次都需要设置：

相似变换不改变魔方的环结构.rar (854 Bytes, 下载次数: 2)
　　

　　　
　　

   也希望大家积极跟贴探讨研究魔方整体翻转的各种性质。我在这里

算是抛砖引玉了。
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　

附件: 相似变换不改变魔方的环结构.rar (2013-9-11 21:22:28, 854 Bytes) / 下载次数 2
http://www.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=MjIyNzA1fDZmYjY2YjRifDE3NjE4MzkxMzd8MHww

作者: ZJY 时间: 2013-9-12 00:12:54

还好，准备考研，刚复习了一遍线性代数。。。不过还是很多看不太懂

作者: 洛阳狼王 时间: 2013-9-12 09:19:16

大神现身了？

作者: 乌龙 时间: 2013-9-13 10:30:34

mark了然后慢慢看，受教了。

作者: 黑白子 时间: 2013-9-22 16:25:22

ggglgq 发表于 2013-9-11 20:38
1、把整体翻转  Z 当作 X 的性质： B = Z' A Z

         此 ...

用整体翻转只找到24个自同构，另外24个怎么用整体翻转得到？最好举个3阶魔方的例子。

作者: ggglgq 时间: 2013-9-26 09:28:21

　　
　　
　　

直接由魔方的相似变换不能得到 48 自同构的。还需要一个状态 A 的镜像 A~ ，

对状态 A~ 再进行 B~ = Z' A~ Z ，最终 B 与 B~ 共同构成状态 A 的 48 自同构。

　　
　　
　　
　　
　　

作者: 黑白子 时间: 2013-9-29 21:48:56

本帖最后由 ggglgq 于 2013-10-2 18:18 编辑

48自同构具有相同的环结构、周期、最少步，对吧？


______________________________________________________



对。             ggglgq 回复

欢迎光临魔方吧·中文魔方俱乐部 (http://www.mf8-china.com/)