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标题: 一个几何证明题 [打印本页]

作者: jx215 时间: 2012-2-10 10:17:08 标题: 一个几何证明题

从圆外任意作一点P，引圆两条切线，切点为A,B，求证：三角形PAB面积不存在最大值与最小值。

求严格数学证明过程。

作者: ursace 时间: 2012-2-10 10:26:38

P点离圆越近，面积越小，反之越大。所以没有。

以上文字由联想电脑自动生成，错了请找联想索赔，谢谢。

作者: 石冠群 时间: 2012-2-10 11:07:51

AB两点既不能重合，也不能距离长达直径。证毕。

作者: jimofc 时间: 2012-2-10 13:59:44

假设p越来越远，三角形的底ab趋近于直径d，三角形的高为无穷大，面积为二分之一乘常数d乘无穷大，结果是无穷大，最小值同理，面积是高阶无穷小，比底和高趋近零的速度还快

作者: 则卷同学 时间: 2012-2-10 14:44:38

回复楼上，我怎么记得你是材料专业的...

作者: jimofc 时间: 2012-2-10 16:16:32 标题: 回复 5# 的帖子

水利水电工程专业。。。
而且数学不是绝大部分必修的么

作者: jx215 时间: 2012-2-10 19:11:36

原帖由 jimofc 于 2012-2-10 13:59 发表
假设p越来越远，三角形的底ab趋近于直径d，三角形的高为无穷大，面积为二分之一乘常数d乘无穷大，结果是无穷大，最小值同理，面积是高阶无穷小，比底和高趋近零的速度还快

我这样考虑的，严格证明应用极限原理来论证.

如图,设圆O半径为1,P为圆外一点,A,B为两个切点.∠BPO=a,SΔPBO=1/2*PB=1/2tana, SΔBCO=1/2*BC*CO=1/2*sina*cosa
所以,SΔBPC=SΔPBO-SΔBCO=1/2tana-1/2*sina*cosa
SΔPAB=2SΔBPC=1/tana-sina*cosa
当P点不断向左移动时，有∠a不断变小,那么lim(a->0)SΔPAB=lim(a->0)(1/tana-sina*cosa)=lim(a->0)(1/tana-1/2*sin2a)
=+∝
因此，SΔPAB无最大值。

但P点向右移动时，有∠a不断变大，但始终小于π /2，那么lim(a->π /2)SΔPAB=lim(a->π /2)(1/tana-1/2*sin2a)=0
但三角形是有面积的，不可能取到0，所以无最小值。

[ 本帖最后由 jx215 于 2012-2-10 19:23 编辑 ]

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