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标题: 圆上作弦的概率问题 [打印本页]
作者: 钟七珍    时间: 2008-4-14 03:17:44     标题: 圆上作弦的概率问题

　
　　在半径为1的圆内随机地取一条弦，问其长度超过圆内接等边三角形的边长的概率是多少？
　
　　我搜集到有七种解法。但哪种方案才是合理的呢？
作者: 钟七珍    时间: 2008-4-14 03:29:11

　
　　解法一： 任何弦交圆周两点。不失一般性，先固定其中一点，则弦的另一端只有位于此固定点正对的1/3圆周长的弧内才满足要求，所以概率是1/3 。
作者: 钟七珍    时间: 2008-4-14 03:30:38

　
　　解法二：弦长只与它到圆心的距离有关。因此满足要求的弦和与之垂直的直径的交点到圆心的距离必须大于1/2，而直径长为2，所以概率是1/2
作者: 钟七珍    时间: 2008-4-14 03:31:18

　
　　解法三：弦的中心点必须位于半径为1/2的同心圆之内才满足要求。而此圆的面积是大圆面积的1/4，故所求的概率是1/4 。
作者: 钟七珍    时间: 2008-4-14 03:35:11

　
　　暂时列出三种解法。而这三种解法的最终结果不一致。到底哪一种方案才是正确的呢？才合理呢？才符合题意要求呢？
作者: hanwuji    时间: 2008-4-14 10:07:57

典型的几何概型，几何测度应该是弦所对应的弧度：P=1/3，因此第一种解法正确

[ 本帖最后由 hanwuji 于 2008-4-14 10:13 编辑 ]
作者: 阿猪    时间: 2008-4-14 11:46:28

这话题与魔方无关
作者: 路过魔尖    时间: 2008-4-14 12:34:27

无关的只要有关数学就可以讨论，可以按圆心角比例算
作者: Cielo    时间: 2008-4-14 13:38:34

《概率论引论》（汪仁官）书中第12页是这样说的：在使用术语“随机”、“任取”、“等可能”、“均匀”时，应明确其含义。<br><br>所以说这个题目有问题，根本没说清楚，没必要讨论的！<br>
作者: bbshanwei    时间: 2008-4-14 14:51:55

一看到数学就头疼，今天又疼了。<IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/smilies/default/sweat.gif" border=0 smilieid="10">
作者: 钟七珍    时间: 2008-4-14 15:34:04

　
　　９楼的Cielo朋友点到了本题的关键之处！
　　“在圆内随机地取一条弦”。不同的取弦方法，就引出了不同的解法。问题是哪一种取弦方法更符合“随机地取”这一要求呢？
作者: 钟七珍    时间: 2008-4-14 15:47:26

<P>　　</P>
<P>　　解法四：</P>
<P>　　这是我的解题思路。</P>
<P>　</P>
<P>　　为了最大限度地满足“随机取”、“任意取”这一要求，我把取点范围放到无限平面上。但为了保证作出的直线与圆相割，所以必须至少把其中一个点放在圆平面内，而把另一个点的取点范围放在包括圆内和圆外的整个无限平面上（两点式）；或者先在圆内任取一点，再过此点的任意方向作直线（点斜式）。这两种画线方式是等效的。这样就能作出一条弦。然后再用积分算出这条弦长大于圆内接正三角形边长的概率。　　</P>
<P>　　解法四最大限度地满足了题目要求：“在半径为1的圆内随机地取一条弦”。顺带提一句：前面三种解法都没有考虑到圆外也是取点区域。</P>
<P>　　我作出的结果是：6π分之(3倍根号3加2π)。 6π分之(3倍根号3加2π)的计算结果≈0.60900＞3/5＞1/2。</P>

[ 本帖最后由 钟七珍 于 2008-4-15 12:36 编辑 ]
作者: whitetiger    时间: 2008-4-15 09:38:14

个人认为解法一是正解。解法二与解法三对比，就发现弦心距小的弦比弦心距大的弦要“少”，就这个认为是随机的不合理。解法三不合理在什么地方还没想好。
作者: 钟七珍    时间: 2008-4-15 12:30:03

<P>　</P>
<P>　　解法五：这是我想到的又一个解题思路。</P>
<P>&nbsp;</P>
<P>　　在圆内随机任取两个点，把作割线所需的两个点的取点区域都放在圆平面内。这样所作的弦“其长度超过圆内接等边三角形的边长的概率”肯定又是另一种结果。究竟是多少？我没有计算过。但与解法四相比，取点范围受到了限制，不能最大限度地满足了“随机”、“任意取”这一要求。</P>

[ 本帖最后由 钟七珍 于 2008-4-15 12:35 编辑 ]
作者: 钟七珍    时间: 2008-4-17 12:12:13

<P>　</P>
<P>　　解法六：</P>
<P>　</P>
<P>　　先在圆周上任取一点，然后过此点作任意方向的直线，直线与圆相割得到一条弦。最后通过对弦长的分析计算，从而得出了“弦长大于圆内接等边三角形的边长的概率为1/3”的结果。</P>
<P>　　这个结果与解法一的结果完全相同！不同的解题思路、不同的作图方法，而计算结果居然一样！不知大家思考过是何原因没有？</P>
<P>　　解法六的错误之处与解法一同出一辙：它把平面作图所需点的选点范围局限在圆周线上，不能最大限度地满足“随机取”、“任意取”的要求。</P>
<P>　&nbsp;　</P>
作者: ggglgq    时间: 2008-8-8 08:10:42

&nbsp;&nbsp; <BR>&nbsp; <BR>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 此问题有待研究，置顶讨论！<BR>&nbsp; <BR>&nbsp; <BR>&nbsp;&nbsp;
作者: flwb    时间: 2008-8-8 11:55:56

<P>虽然本题没有说明如何取弦,但无非只有两种方法:</P>
<P>第一种方法,随机取一点,作过此点的最短弦,弦长大于根下3&nbsp;的概率为25%;</P>
<P>第二种方法,随机取两点作弦,第一点,如果取在r=0.5的圆内,则第二点无论怎样取,该弦都必定大于根下3,第一点如取在r=0.5的圆外,(这种情况占75%)那么满足能够与第一点构成长度小于根下3的弦的第二点的可取面积是1.1973(此数值由金眼睛提供的公式得出,详情请看"与tiawing的概率题有关的问题"一贴),与大圆面积Π的比值约为38%,这样两次取点做弦,弦长小于根下3的概率约为75%*38%=28.5%,弦长大于根下3的概率为71.5%。</P>
<P>&nbsp;</P>
作者: 失群孤雁    时间: 2008-8-9 09:49:21

都是对的 .....不一样的作法发概率就不一样了
作者: ZJY    时间: 2008-8-30 21:44:36

<P>照我说嘛，应该是六分之一。</P>
<P>因为随便在圆上取一点，并以这一点为其中一个顶点作圆内接等边三角形，则符合要求的弦与这个顶点的对边的交点必须在另外两个顶点之间，也就是说，这条弦绕顶点左右摆动的角度不能超过60度，所以答案应该也许或者是六分之一。</P>
<P>本人才疏学浅，如有错误，请指正。</P>
作者: ZJY    时间: 2008-9-2 22:33:03

<P>回去仔细想了一想，发觉我错了，应该用这个顶点所对的圆心角来计算，即120度，除以360度，答案是6分之1。</P>
<P>&nbsp;</P>
作者: ZJY    时间: 2008-9-2 22:34:04

不小心又错了，应是3分之1
作者: ares_g    时间: 2008-9-3 20:47:33

<P>
原帖由 <I>钟七珍</I> 于 2008-4-14 15:47 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&amp;pid=112794&amp;ptid=7719" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A> 　　　　解法四：　　这是我的解题思路。　　　为了最大限度地满足“随机取”、“任意取”这一要求，我把取点范围放到无限平面上。但为了保证作出的直线与圆相割，所以必须至少把其中一个点放在圆平面内，而 ...
</P>
<P>个人认为凡直线与圆相交的概率问题基本都涉及到圆周率，估计这个答案更可信。</P>
作者: guoyu    时间: 2008-9-4 21:58:48

认真分析上述解题过程可知，产生不同答案的根本原因仅仅是题目中“任作一弦”的含义不清。对“任作”二字持不同的理解，就会得到不同的答案：理解为在圆周上任取两点连成一弦，所求概率为1/3，理解为在固定半径上任取一点作与此半径垂直的弦，答案为1/2，理解为在固定半径上任取一点作为弦的中点而作弦，所求概率为1/4。三种不同的理解对应着不同的随机试验，从而有不同的样本点和样本空间。所以答案就会不同。
作者: ares_g    时间: 2008-9-6 09:22:55

<P>后来又想了一下，也许LZ1/2的答案是对的。<BR>在圆内随机取弦，无非是随机做圆的割线。因为圆是“完美”对称的，所以对割线方向进行设定应该是没有意义的，只要取一个方向上的考虑即可，其他方向也都有相同的概率。<BR>如图，在某一方向上能产生符合要求弦的割线数占总数的一半，对吧？那答案应该是1/2吧？</P>
<P> xian.jpg </P>

附件: xian.jpg (2008-9-6 09:22:55, 36.98 KB) / 下载次数 124
http://www.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=MjQ4MjB8M2EyNWFkNDF8MTc1MzA1ODk4MnwwfDA%3D
作者: 咖啡味的茶    时间: 2008-9-6 11:28:43

我觉得应该把园内所有平行的玹（只取一组），然后画出这些线的垂线（某一条直径），然后算一下能大于内接正三角形和小于的点的比（也就是线段长度
作者: Atato    时间: 2008-9-7 10:52:00

<P>24#的有道理.</P>

[ 本帖最后由 Atato 于 2008-9-7 11:00 编辑 ]
作者: Atato    时间: 2008-9-7 11:00:30

<P>
原帖由 <I>ares_g</I> 于 2008-9-3 20:47 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&amp;pid=231242&amp;ptid=7719" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A> 个人认为凡直线与圆相交的概率问题基本都涉及到圆周率，估计这个答案更可信。
</P>
<P>这个不对吧.现在教科书上好多求弦长的都是1/3的答案.而且与圆周率无关诶.</P>
<P>&nbsp;</P>
<P>我也觉得题目有问题-0-</P>
作者: 金眼睛    时间: 2008-9-7 11:34:15

<P>如果认为弦是均匀分布，需要对“均匀”进行定义，可以是弦中点在直径方向均匀(1/2)，弦端点圆周上均匀(1/3)或者弦中点在圆面上均匀(1/4)，这样才能得到唯一答案。 </P>
<P>&nbsp;</P>
<P>我觉得，任做一弦有些蒙特卡洛随机试验的味道，也就是大量试验条件下的统计概率。 </P>
<P>&nbsp;</P>
<P>虽然通过圆心的点可以做无数条弦，但是随机试验点落在圆心的概率为零。举个例子，弦长为sqrt(3)的弦有无穷多条，但如果我说弦长大于sqrt(3)的概率和弦长大于等于sqrt(3)的概率相等，应该没人反对吧？呵呵，这是因为随机试验点落在半径为1/2的圆上的概率同样为零。在大量试验条件下，即便有落在圆心上的弦，它也仅代表那一次随机试验，而不能影响整个概率的计算结果。 </P>
<P>&nbsp;</P>
<P>总之，如果认为弦中点在圆面上均匀分布，概率是1/4，其他答案也必须在对应的均匀定义下才有意义。 </P>
作者: jerold    时间: 2008-9-7 12:31:26

<P>随机，直线XY座标均匀分布，但要与圆周相交才成为弦，不用考虑弦的角度，什么角度概率都是一样的。</P>
<P>BD:AE=1/2</P>
<P>&nbsp;</P>

附件: question2.gif (2008-9-7 12:31:26, 10.03 KB) / 下载次数 132
http://www.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=MjQ4OTd8MjA1ODY4ZGR8MTc1MzA1ODk4MnwwfDA%3D
作者: ares_g    时间: 2008-9-7 20:10:50

我想，LZ只说了做弦，没有说做点后再做弦，如果先做点了那靠近圆心的弦出现的概率岂不会增加很多？
作者: 甜甜私房猫    时间: 2008-9-13 12:13:19

这个题实际是悖论
和飞矢不动的悖论一样
大于根号3的弦有无数个
所有弦也是无数个
没法比啊

[ 本帖最后由 甜甜私房猫 于 2008-9-13 12:42 编辑 ]
作者: gongzp    时间: 2008-9-17 01:25:12

<P>做概率首先要把每一个概率相唯一化，在圆内每个点都能确定一条唯一的弦（与此点到圆心的连线垂直 PS:同样圆内的每条弦也能确定一个唯一的点），而确定一个点只需要确定它离圆心的距离和角度。而在<FONT color=red>任意一个角度</FONT>上只要这个点<FONT color=red>离圆心的距离小于0.5</FONT>，这条弦的长度就会大于圆内接等边三角形的边长。并且这个点离圆心距离必须小于1（要不就没弦了）。</P>
<P>所以任意角度上的点距离圆心都有1/2的概率小于0.5。题目概率为1/2。</P>
<P>&nbsp;</P>
<P>所以解法2为正解，解法一用的是线的长度，解法三用的是面积，而数学中的点是没有面积的大小的，只能代表一个位置。1/3弧长的点和剩下2/3弧长的点都是无穷多，1/4面积上的点和剩下3/4面积上的也都是无穷多。特别是解法一，它所设计的每一条线的中点（也就是确定圆内弦的点）的连线是一个半径0.5，与圆上确定点内切的圆，你会发现这个小圆上的点距离圆心在每个相同角度上都有2个或0个，有2个的时候必有1点距离圆心&lt;0.5，而另一点&gt;0.5。&nbsp; </P>
<P>&nbsp;</P>
<P>不要用线的长度和视觉上面积来衡量点。</P>
作者: gongzp    时间: 2008-9-17 01:31:17

补充一下，举个例子吧，如果你打靶，5-10环算赢，0到4.9999999......环算输，脱靶不算，你有多少的概率赢？
作者: ares_g    时间: 2008-10-5 21:03:21

如果环都一样宽的话，1/4。跟这道题是咋关系呀，不太懂。
作者: 东莞的8    时间: 2008-10-11 22:55:28

这是个好题.留个记号慢慢思考.
作者: flwb    时间: 2008-10-22 07:55:06

<P>
原帖由 <I>ares_g</I> 于 2008-10-5 21:03 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&amp;pid=260730&amp;ptid=7719" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A> 如果环都一样宽的话，1/4。跟这道题是咋关系呀，不太懂。
</P>
<P>肯定大于1/4,因为他瞄的是中心,而不是随便一瞄,不过32楼用这个做类比和他自己的观点矛盾!</P>

[ 本帖最后由 flwb 于 2008-10-22 07:56 编辑 ]
作者: kexin_xiao    时间: 2008-10-23 13:49:22

再仔细学习一下,数学高手很多啊
作者: gongzp    时间: 2008-11-4 22:34:37     标题: 回复 36# 的帖子

恩  例子举的不好  当初只是想说明类似于随机从0~10选一个数（小数点后无限位）大于或小于一半的几率为1/2. 但过于实际 反而引导别人往面积的方面想了。我最初的意思是0到10的随机数，有1/2的几率是小于10大于5的
而且我说的射箭也是乱射  不带瞄的.........   
希望有人能理解，从圆心出发每个角度的射线上  都可以得到1/2概率的结论 然后综合所有的角度后 所有的情况没有遗漏并且没有重叠
作者: alinit    时间: 2008-12-12 11:01:40

对于方法一，应该是固定一个点后另外一个点采用以其做圆然后找到满足条件的圆心角范围内的直线
作者: alinit    时间: 2008-12-12 11:05:03

补充一下，由此算出于答案是三分之一
作者: womendezuguo    时间: 2008-12-12 19:27:28

关于这个问题，我编程模拟了一下，取了10000000个弦，然后算距离。我模拟的方法是：
设圆的方程为x^2+y^2=1,其中弦的一个端点是(0，1)。
再确定另一个端点的x和y坐标的绝对值，然后随机选取一个象限，确定x&y的符号，然后算这点
与(0,1)的距离，作为弦的长度，比较其与根号3的大小。然后重复做此过程10000000次（到底是计算机啊。。。。。。）。

现在把几次计算的结果写下来：
0.432944
0.433049
0.433023
0.432844
0.432985
可以看到概率稳定在0.432~0.433之间

因此似乎已有的结论都与我的不一致。。。。。。

顺便贴出我的程序：
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<ctime>
using namespace std;

const int N = 10000000;

int main(void){
    double dis,lim,x,y;
    int area,hit;
   
    srand(time(NULL) );
    lim = sqrt(3.0);
    hit = 0;
    for(int i=0;i<N;i++){
        x = ((double)rand() /RAND_MAX )*1.0;
        y = sqrt(1.0-x*x);
        area = rand()%4;
        if(area==1||area==2) x = -x;
        if(area==2||area==3) y = -y;
        dis = sqrt(x*x + (y-1.0)*(y-1.0) );
        if(dis>lim) hit++;
    }
   
    cout<<double(hit)/double(N);
   
    system("pause");
    return 0;
}
作者: kkk3000    时间: 2008-12-17 14:14:22

这个入手点不同，答案也不同。都是合理的。
作者: 阿牛++    时间: 2008-12-19 11:09:57     标题: 方法1对！

答案是1./3；

[ 本帖最后由 阿牛++ 于 2008-12-23 10:07 编辑 ]
作者: 水磨鱼    时间: 2008-12-19 16:31:09

随机的结果有三种情况``长,短,合适``
应该都是3分之1``
作者: pumpitup    时间: 2009-1-24 22:04:31

“任作”一弦没有问题，但是三种方法都有其依据，然而得到的答案却是不同的，的确很奇怪。

在一本书上看过，也是这三种答案，按直径算、按弧算，等等，但是书上也没有给出答案。
作者: lulijie    时间: 2009-1-25 14:07:15

我们计算涉及到无限的概率时,把一种情况通过变换,转变成另外一种情况,把计算前一种情况的概率转化成计算另一种情况的概率时,一定要遵守一对一的原则.
我们把前一种情况记作A,后一种情况记作B,变化规则是f.我们选择的f,必须满足一对一的原则.即一个A得到一个B.反过来,一个B只能对应1个A.
举例说明以下:10以内的两个数相加,加数为1-9的数字,求和等于5的概率.
   如果我们通过转换来计算概率,一定要求这种转换是一对一的.
    比如以下的转化,一个式子(两个数相加),对应它们的和,和只能从2-18共17种可能.若把两个数相加通过转变成和来求概率,必然导致错误.因为A→B是唯一的,但B→A不是唯一的(和等于同一个数值的式子很多).这种转化方式是不对的.
---------------------------------------------
所以楼主的第二种算法,把弦通过转化,转变成计算距离,这种转化是不对的.因为弦变换成距离是唯一的,但等于这个距离的弦有很多,这种转化不是一对一关系.
同样,第三种算法,把弦转化成它的中点,这种转换也是错误的.弦转化成它的中点,是唯一确定,但通过该点的弦却不是唯一的,它有无数条.所以这种转换方法不是一对一关系.
而第一种算法,先确定一点,因为圆周上的点是对称的,所以随便定在哪都可以.而定第二个点来确定弦,这种转化方法是一对一对应的(一条弦对应一个点,一个点也对应一条弦),所以这种转化方法是可行的.
作者: lulijie    时间: 2009-1-25 14:44:19

用Rnd()产生一个0-1之间的随机数,再乘以6.2831853071794,就得到一个0-2π之间的随机数(x1).对应圆上的一个点(cos x1,sin x1).
同样的方法得到圆上的第2个点(cos x2,sin x2).  这种弦转化成两个点的转换方法是符合一对一原则的.
       (cos x1 -cos x2) ^ 2 + (sin x1 - sin x2) ^ 2 > 3     就是判断条件.
编程计算 满足条件的实验次数除以总实验次数,就得到近似概率,实验次数越大,就约精确.
我让电脑实验了一百万次,得出的结果是0.333681.
非常符合楼主第一个方法得出的结论(三分之一).
作者: lulijie    时间: 2009-1-25 15:10:47

回复41#
       该同志用横坐标X作随机数的变量是不合适的,因为X在1或-1附近变化相同的△X时,产生的弦的变化多,而在0附近变化相同的△X时,引起弦的变化少.
      换句话说 每个不同的x的概率密度不同(针对无限中的概率要用概率密度来表示).
      所以把不同概率密度的变量当成相同概率密度来计算概率,必然导致错误.
作者: lulijie    时间: 2009-1-25 15:27:25

我们计算涉及到无限的概率时,不但要遵守一对一的原则,还要遵守概率密度不变原则.(概率密度就是单位变化量的概率,若每处的概率密度不同,就要用极限来求出)
举个例子:
求1到9之间的实数,小于5的概率.
非常简单概率等于二分之一.
但如果你通过平方变换,即在1-9之间的数进行平方,得到另一 数与之对应,那么它的范围就是1-81.这种转换是一对一的,但如果你得出结论认为概率就是转换后的求1-81中小于25的概率,为24/80,那就得出的错误结论.
原因在于:原先1-9中任何一点的概率密度相同.但通过平方变换后,每点的概率密度不同.


[ 本帖最后由 lulijie 于 2009-1-25 15:33 编辑 ]
作者: lulijie    时间: 2009-1-25 16:20:12

回复32#
阁下使用的转换方法符合一对一原则,但是它违反了概率密度不变的原则.
试想 点在某一条半径变化,变化相同的变量△r,引起的弦的变化数不同,也就是说用r 作变量,它的概率密度不是常数.   
    所以阁下得出的结论是错误的.
同志们啊,计算变量取值的概率时,一定要确定每种变量取值的概率,切不要把不同概率的当成相同概率的来计算,否则必然得出错误的结论.而涉及到无限种可能时,我们选择变量时,一定要保证这种变量的概率密度是个常数(即不同的变量取值,概率密度都相同).
一个最简单的例子:
加数只能取0或1,那么和为1的概率.
       和只有3种可能,0或1或2.  故得出和为1的概率为1/3.
        这明显是错误的.因为和的取值只有3种,但它们每种取值的概率却不是相等的.和为0的概率为1/4,和为1的概率是2/4,和为2的概率是14.
作者: lulijie    时间: 2009-1-25 17:19:49

求总事件P中，发生事件A的概率。
为了描绘事件，我们用变量X来表示，假设X的每一种取值的概率是相同的（若X的取值有无数种可能，则X的每一种取值的概率密度是相同的）。
如果我们为了计算方便，通过一种转换，转换成求总事件P‘中，发生事件A’的概率，描述事件的变量为X‘。
这种转换是一对一的。那么为了使转换后计算出的概率等于原先求的概率，就要求这种转换后X’的每一种取值的概率是相同的，或概率密度是相同的，若不相同的话，概率计算会很困难，而把她当成相同概率来计算，就造成了错误。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
所以我们转换计算概率时，一定要确定这种转换可行不可行，有没有引起变量的概率密度变化。
作者: DK24    时间: 2009-2-27 22:12:47

个人认为解法1：1/3
作者: 小无常    时间: 2009-7-16 16:20:28     标题: 第一种正确

任意取点的话 才算的

2 3种解法都对任意性做了改变

取弦的定义扭曲了
作者: whut_cz    时间: 2009-7-26 10:27:01

必须要先确定一个定点，然后再在圆上随机找另一个点，连接两点所成的弦，另一点的集合将圆周分成两份，两份的长度比为2：1，所以大于的概率为1/3
作者: Paracel_007    时间: 2009-8-23 15:46:05

这是贝氏奇论，单墫的书里讲过的
这时需要给“概率”一个明确的定义，本质上不同解法题目是不同的
作者: liuzr    时间: 2009-9-24 16:01:54

3楼解法二的结论是正确的。
作者: Honku    时间: 2010-1-9 19:13:43

几何概型的概率是不定的
一般的题目都会给出相应的条件
比如
“三角型中,做一角的射线交三角形于对边,长度是几分之几的概率”和“在三角形的一边上任取一点,使得长度是几分之几的概率”
一个要用角度去算,一个则要用长度去算
因为衡量的标准不一样
所以计算所得的结果也不一样
所以楼主的解法都可以,只是出发点不用,所以有不同的结果
作者: appletree444    时间: 2010-1-25 16:52:46

我定义均匀的大前提：一个面内的点都是密度均匀分布的，即是说无论我们在这个面内任取某一小块，其密度都是一样的；而且任取相同面积不同形状的两块，它们各自所包含的点应该算是一样多的。从这个意义上讲，圆内各点应该是均匀分布的。而且从这个意义上来说一个大圆所包含的点比一个小圆所包含的点多。（虽然无穷多确实是比较不了大小的，但是我的定义是）
对于解法三，其实我觉得从下面这个意义上它符合一对一原则：过一条弦作圆心的垂线，这条弦和与之相交的垂线的垂足（弦的中点）就和这条弦一一对应。即从圆上任意取一点，以这点为垂足就可得到对应的一条弦；反之，任取一条弦，那么也就确定了它过圆心的垂线的垂足。那么用面积的方法算，得到的答案确实是1/4。

再反观解法二，举例说，到圆心距离为0.75的弦有无数个，把这些弦都用它的中点（即垂足）一一对应，其垂足点组成的圆轨迹我们称作大圆A。同样道理我们把到圆心距离为0.25的弦的中点组成的圆轨迹称作小圆B。我们从上述均匀的意义出发，并不能得出A上的点和B上的点一样多的结论（假如作一条大圆A的半径AD过B教于C，然后说这样大圆上的点D就和小圆上的点C一一对应，所以大圆上的点就和小圆上的点数一样多，这样会造成圆心处的点很密集，而离圆心越远则点越疏，这样我觉得是违背上面的密度均匀分布论的）。所以解法二从这个角度来说就站不住脚。

最后反观解法一，如图，在中间的60度角的范围内，由于弦AB和弦AC并不一样长，根据解法二的分析，弦AB与弦AC出现的概率是不等的。所以在上述定义的均匀分布的大前提下，解法一是不可取的。

[ 本帖最后由 appletree444 于 2010-1-27 13:07 编辑 ]

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作者: 冰儿郎    时间: 2010-6-6 22:00:02

有没有考虑弦和内接三角形边长相等的情况。
这样比忽略弦和内接三角形边长相等的情况得出的答案还少一种情况。
这个。。。
作者: 冰儿郎    时间: 2010-6-6 22:01:06

但仍旧支持第一种解法·
作者: 小兔兔    时间: 2010-7-30 17:22:43

看“随机”怎么理解，如果是圆周上任取两点的话，可将这两点分别作为横纵坐标，满足条件的点的面积占总面的1/3，所以概率为1/3

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作者: 黄家小子    时间: 2011-1-17 08:49:38

我的第一反应跟第一种解法一致。
作者: pumpitup    时间: 2011-7-8 21:55:19

我表示还不知道到底哪个是正解……
作者: ares_g    时间: 2011-12-1 12:42:39

我还是坚持我在24楼的意见。
所谓随机，一是方向随机，二是位置随机。
可以模拟一个场景：地上有一个正方形托盘，托盘上有一绕圆心不停匀速旋转的圆环，你手中拿着一根无限长的“弦”从非常高的地方扔下去，如果弦一碰到圆环，就粘到圆环上并让圆环立刻停止转动。
解释一下：
非常高，就是要随机、要均匀，包括扔不到圆环上——当然这些数据不在统计范围只内；
因为“弦”是无限长的，我们又没有瞄准，从非常高的地方扔下去，所以在正方形上的落点是均匀的，也就是在24楼图中从左到右弦的密度是均匀的；
圆环不停转动，说明“弦”落到圆环上时与环的相对方向是均匀的。
这样一来不就是1/2了么？
作者: 没有斜转的屑    时间: 2025-5-10 11:59:32

我的第一反应怎么是第2种
作者: 魔宝脱B    时间: 2025-5-10 12:28:17

或者说题目本身是有问题的，在“随机”上不够严谨，也没有说明各种情况的概率密度




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