魔方吧·中文魔方俱乐部

标题: 发一道图形题，自己不会解 [打印本页]

作者: wyy1998 时间: 2011-3-13 16:19:53 标题: 发一道图形题，自己不会解

这道题使我纠结了好长时间

，发上来与大家共享。
如图，以正方形边长为半径，作四条弧，求阴影部分面积。
（图片质量不太好，大家能看懂就行)

附件: 练习.jpg (2011-3-13 16:19:53, 11.79 KB) / 下载次数 223
http://www.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=MTM1Mzg3fDdjY2RkYTM4fDE3NzA1MDYxOTd8MHww

作者: hjt0619 时间: 2011-3-13 16:23:46

这是我初中时的数学竞赛题。。
我来想想怎么做

================================

令边长为1
由灰色部分得 a+2b+2c=1/4
蓝色部分面积=60度的扇形-边长为1 的正三角形=π/6-(根号3)/4
绿色部分面积=2b+2c
蓝色加绿色面积=30度的扇形=π/12

由上面解出a 阴影面积=4a=π/3-根号3+1

[ 本帖最后由 hjt0619 于 2011-3-13 17:36 编辑 ]

附件: QQ截图未命名.jpg (2011-3-13 17:34:13, 16.9 KB) / 下载次数 209
http://www.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=MTM1NDIzfGVjZmU5NmUxfDE3NzA1MDYxOTd8MHww

作者: d891320478 时间: 2011-3-13 16:34:37

呃……求定积分……要是能用就好做了……

作者: 海上晴天 时间: 2011-3-13 16:52:05

阴影部分像七阶魔方啊

作者: wyy1998 时间: 2011-3-13 17:11:18

LS的想象力也太丰富了点吧！

作者: 速度一般 时间: 2011-3-13 17:14:16

做过，忘记怎么做的了……—_—||

作者: 黄家小子 时间: 2011-3-13 19:20:12

2 楼真牛啊！

作者: yeees 时间: 2011-3-13 19:47:38

如图，至于图示的那个角为啥是30°，你懂的，证明自己证吧。
S（紫）=[π/12-sin30°/2]=[π/12-1/4]
S（红）=(2-√3)/4
S（要求图形的面积）= [S（紫）+S（红）]*4 = π/3+1-√3
___________________________________________
补充一下吧，免得看不懂，设长度x，y如图所示：
S（紫）不用多说，30°的扇形面积减去顶角为30°的那个等腰三角形的面积即是。
因为，x^2=1^2+1^2-2cos30°（余弦）=2-√3
x^2=y^2+y^2-2y^2cos90°(同上)
所以 y^2=(x^2)/2=(2-√3)/2
所以，S（红）=(y^2)/2=(2-√3)/4

[ 本帖最后由 yeees 于 2011-3-13 20:14 编辑 ]

附件: 0.gif (2011-3-13 20:03:48, 8.16 KB) / 下载次数 227
http://www.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=MTM1NDI4fDY0MzU1OWFmfDE3NzA1MDYxOTd8MHww

作者: lanjingling 时间: 2011-3-13 23:07:32

原帖由 d891320478 于 2011-3-13 16:34 发表
呃……求定积分……要是能用就好做了……

写出曲线的方程，用曲面积分求解。

作者: 西北天狼 时间: 2011-3-14 15:50:55

这道题用图形旋转做比较好！
左图 S红+S黄+S蓝=π/12
将蓝色部分旋转90°右图
黄+S蓝=√3/4-1/4
综合阴影面积 4S红=π/3-√3+1
未命名a.JPG

附件: 未命名a.JPG (2011-3-14 15:50:55, 25.06 KB) / 下载次数 222
http://www.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=MTM1NTE1fGNjOTQ0ZjA1fDE3NzA1MDYxOTd8MHww

作者: wyy1998 时间: 2011-3-14 19:10:38

大家们真是集思广议，做出了不少很好的解法！

作者: aubell 时间: 2011-3-14 23:42:14

原帖由 wyy1998 于 2011-3-14 19:10 发表
大家们真是集思广议，做出了不少很好的解法！

“大家”还加个“们”，语法好像不对。

作者: wyy1998 时间: 2011-3-15 21:24:31

楼上的眼力真不错，谢谢了！

欢迎光临魔方吧·中文魔方俱乐部 (http://www.mf8-china.com/)