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标题: 有无数多条对称轴的平面封闭曲线一定是圆吗？ [打印本页]

作者: 华容道 时间: 2010-9-23 18:38:30 标题: 有无数多条对称轴的平面封闭曲线一定是圆吗？

有无数多条对称轴的平面封闭曲线一定是圆吗？

作者: 相思常青 时间: 2010-9-23 19:01:23

如果能找出一种符合条件、不是圆的图形就说明这句话是错的。
可惜我找不到。。。。。。我还不知道圆的定义。。。。。。
我们班下个星期就要学圆形了，等过一段时间再回答吧。

作者: caocaojun 时间: 2010-9-23 19:05:20

圆的定义是到定点的距离等于定长的点的集合。

作者: 哔哔哔哔 时间: 2010-9-23 19:20:24

。。。。。。。。。。。。。- -很深奥的问题

作者: 耗子哥哥 时间: 2010-9-23 20:27:18

理论上说，正偶数边形，就有其边数2倍的对称轴，正奇数边形就有其边数的对称轴数，也就是说你要是找出一个“无穷”边形，就有无穷条对称轴，只要你认为这个无穷边形无限接近圆但不是圆，那就是第二个符合你题目的多边形。

作者: superacid 时间: 2010-9-23 20:59:23 标题: 回复 5# 的帖子

那个图形就是圆...

作者: lamianbu 时间: 2010-9-23 21:02:51

原帖由 耗子哥哥 于 2010-9-23 20:27 发表
理论上说，正偶数边形，就有其边数2倍的对称轴，正奇数边形就有其边数的对称轴数，也就是说你要是找出一个“无穷”边形，就有无穷条对称轴，只要你认为这个无穷边形无限接近圆但不是圆，那就是第二个符合你题目的多边 ...

又回到 0.9循环等于1的老问题了。

作者: phileas 时间: 2010-9-24 00:51:26

一定是圆。

粗略证明（时间关系，没有用十分严格的语言）：

1。首先证明，任意两条对称轴都有交点（即不平行）。
反证法。假设有两条平行的对称轴，在曲线上任取一点，反复对这两条对称轴作对称点，得到的点集是发散的，与封闭曲线矛盾。

2。然后证明，所有对称轴交于一点。
反证法：假设有三条对称轴不是交于一点，那么中间围了个三角形，在这个三角形内部任取一点O。
在曲线上任取一点P，在上述三条对称轴中必存在一条，使得O和P在其同一侧，作P对于该对称轴的对称点P'，显然OP' > OP。
再一次，在上述三条对称轴中必存在一条，使得O和P'在其同一侧，作P'对于该对称轴的对称点P''，有OP'' > OP'。
这样继续下去，再次得到一个发散的点集，与封闭曲线矛盾。（点集发散性还需要严格证明一下，应该没问题）

3。假设所有对称轴交于点O。在曲线上任取一点P，于是以O为圆心，OP为半径的圆上有曲线上无数个点。可以证明整个圆都属于曲线。基本思路是先对于三根对称轴进行分析，用夹角作辗转相除法，得到如果夹角比例是无理数，就必然整个圆都属于曲线；而如果所有比例都是有理数，那么由于有无数对称轴，夹角比例存在任意大的分母，再利用有界数集必有确界，仍然整个圆都属于曲线。

4。最后，由于是封闭曲线，应该不可能包含其它同心圆。

所以该曲线一定是圆。

作者: kattokid 时间: 2010-9-24 01:18:02

感觉平面曲线应该是如果不是平面曲线，而是空间曲线，两头是一样大小的圆葫芦也是闭合曲线…算不算是无数条对称轴呢？

[ 本帖最后由 kattokid 于 2010-9-24 01:19 编辑 ]

作者: 华容道 时间: 2010-9-24 12:23:53 标题: 回复 8# 的帖子

好思路！！！！！！！

作者: 铯_猪哥恐鸣 时间: 2010-9-24 17:07:26 标题: 回复 5# 的帖子

耗子哥哥描述的这一图形恰好说明了有无穷多条对称轴的图形，如果是正多边形，那么它只能是圆。注意到“无穷”是个动态的概念，当对称轴数、边数区域无穷的过程中，正多边形最终也收敛于圆。。。

作者: Paracel_007 时间: 2010-9-24 18:11:07

原帖由 耗子哥哥 于 2010-9-23 20:27 发表
只要你认为这个无穷边形无限接近圆但不是圆，那就是第二个符合你题目的多边 ...

耗哥是故意这么说的么？

作者: 乌木 时间: 2010-9-24 19:28:51

除了是个圆之外，一个圆环算不算呢？当然，圆环是两条封闭曲线了，或者是两个同心圆以及其间的环形面，或者无数个同心圆的集合，总还是不符合题目说的一条封闭曲线。对吧？

作者: 小明的马甲 时间: 2010-9-24 19:53:02

r=sin(πθ)，θ取任意实数值。。不知道这个曲线如何。。

作者: superacid 时间: 2010-9-25 02:18:09 标题: 回复 14# 的帖子

你那个不叫封闭曲线...

作者: 小明的马甲 时间: 2010-9-25 14:10:52 标题: 回复 15# 的帖子

- - 我也觉得。。。然后前面突然想到有没有什么处处连续处处不可导的曲线。。。

作者: 华容道 时间: 2010-9-27 17:06:53 标题: 回复 16# 的帖子

难道是分形。。。。。。。。。。。。

作者: 三硝基甲苯 时间: 2010-10-2 19:38:08

同心圆？当我没讲...

作者: 相思常青 时间: 2010-10-3 09:27:01

我们学圆了，但是老师说的圆的两种定义都无法证明。看来初中数学的内容解答不了这个问题了。。。。。但我觉得应该是，否则就没有其他图形符合以上条件了。

作者: superacid 时间: 2010-10-3 11:08:49 标题: 回复 19# 的帖子

圆的定义就是平面内到一定点的距离等于定长的所有点的轨迹...

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