魔方吧·中文魔方俱乐部

标题: 【解集】共点三射线三等分正方形 [打印本页]

作者: migl 时间: 2010-3-23 16:15:47 标题: 【解集】共点三射线三等分正方形

三等分正方形图示.jpg

已知：
如图，正方形ABCD的边长为1，正方形的中心点O位于坐标系原点，三条射线PE、PF和PG互成120度。
又射线PE、PF和PG将正方形ABCD分割成三份1、2和3。
三份的面积为S1、S2和S3。

求：
所有满足S1=S2=S3的点P的解集。

附件: 三等分正方形图示.jpg (2010-3-23 16:15:47, 36.77 KB) / 下载次数 192
http://www.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=OTEzMDd8OTFlNzdkZWV8MTc2NDgxNzE1MHwwfDA%3D

作者: migl 时间: 2010-3-23 16:19:51

注：
三条射线互成120度，但方向不是固定的，即三条射线可“以点P为中心”整体旋转。

目前只能凭空想像到两种类型的解，每种四个解，合计八个解。
不知道解集会是什么样的“图形”？

作者: migl 时间: 2010-3-23 16:56:26

特殊解图示1.JPG

稍稍计算一下：（希望没算错）
类型1：
(1/2)*a+(1/2)*(1/2)*(1/(2(√3))) = 1/3
a = (2/3)-(1/4)*tg30° ≈ 0.522329
类型2 ：
(1/2)*a*a+(1/2)*a*a*tg15° = (1/2)*(1/3)
a*a = (1/3)/(1+tg15°) ≈ 0.262892
a ≈ 0.512730

取八个点中的三个
(0,0.022329)
(0.012730,0.012730)
(0.022329,0)
得到部分示意图：
特殊解图示2.JPG

介于直线与圆之间，尚无法推测出具体“图形”。
不知道是直接计算能三等分面积的点P方便，还是计算不能三等分面积的点P方便？

[ 本帖最后由 migl 于 2010-3-23 16:59 编辑 ]

附件: 特殊解图示1.JPG (2010-3-23 16:56:26, 11.73 KB) / 下载次数 172
http://www.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=OTEzMDh8OGZkZjhlNDV8MTc2NDgxNzE1MHwwfDA%3D

附件: 特殊解图示2.JPG (2010-3-23 16:56:26, 11.93 KB) / 下载次数 164
http://www.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=OTEzMDl8NzQ4ZTNlMjh8MTc2NDgxNzE1MHwwfDA%3D

作者: 陆飞 时间: 2010-3-23 17:03:15

想问楼主，这是现在高中题吗？

作者: 魔方世家008 时间: 2010-3-23 18:43:11

好难的题啊！！！

ORZ you

作者: gb57 时间: 2010-3-23 21:21:33

你可以试试F坐标(a,0.5),E坐标(0.5,b) ,然后所有点的坐标都可以用a和b表示，每个图形面积也可以用a和b表示，并且都=1/3
这样你就求出a和b的关系了，然后就能找到P点横纵坐标的关系，试试吧

作者: lulijie 时间: 2010-3-23 22:28:35

由于P点在坐标4个象限内是对称的，只要研究一个象限的情况即可，就以版主的图为例。
设PG与Y轴的夹角为θ，P距两个坐标轴的距离为x、y，那么（ x、y>=0）
PGDE的面积=xy-1/2*x*x*tan(θ-30°)+1/2*y*y*tan(θ)=1/3
PEAF的面积=(1-y)*x+1/2*x*x*tan(θ-30°)+1/2*(1-y)*(1-y)*tan(60°-θ)=1/3
联立两式，消去θ，就可得到曲线方程。
但是消去θ还是有难度的。

作者: tm__xk 时间: 2010-3-24 00:29:48

我弄出了一个五次曲线....不干了....回头输电脑看看....

作者: migl 时间: 2010-3-24 12:41:50

原帖由陆飞于 2010-3-23 17:03 发表
想问楼主，这是现在高中题吗？

觉得有能力的都可以来尝试，欢迎各种解法。
也许用高中的思路就能解题了。

不过话说回来，光是计算某给定的点P是否有符合题意的射线角度就已经是很大的工作量了。

作者: 陆飞 时间: 2010-3-24 12:44:15

没有，我以为高中的题呢~

都无从下手~
好久没做数学题了~

作者: oboe 时间: 2010-3-31 16:49:38

7楼给说的四个象限对称。
可以更多推一步，得到在0 到 45 度角的范围内的集，就能得到全集了。
也就是研究45度角转动时的轨迹就可以了。

不列方程了。
想起一个故事：某人（爱迪生？）要测量一个灯泡的容量，助手列了一个高等方程求解。但他想了一会，把灯泡装上水，再倒进一个量灯，测到了。

那么，我也可以做一个正方形的容器，里面装上小球；再做一个隔板。如果小球足够重，那么，在重力的影响下会把这块板推到相应的地方，也就是S1=S2=S3的地方。
按题意，先把隔板定好一个角度，再在外面加上只能平移的设备。就可以得到相应的点了。

作者: migl 时间: 2010-3-31 18:36:37

原点考虑15度足矣。非原点应该是考虑60度的吧。

==

原点考虑旋转15度足矣。非原点应该是考虑旋转60度的吧。

[ 本帖最后由 migl 于 2010-4-1 15:19 编辑 ]

作者: oboe 时间: 2010-4-1 08:55:23

是15度。
以“>-”形为例，逆时针转15度时，就是另一个经过正方形左上角那点的特别图形了。
再转15度就是“Y”形了，这阶段的图形和刚才的15度是镜像的。
如此说来，是个360/15=24片的梅花形。

不明白“非原点”考虑60度是什么意思？

作者: AlphaCB 时间: 2010-4-1 09:48:03 标题: 回复 5# 的帖子

你的头像太有误导性了

作者: superacid 时间: 2010-4-1 09:52:48

大家只考虑利用对称减少工作量有价值吗？应该从本质下手

作者: oboe 时间: 2010-4-2 08:34:02

怎么会没价值？
正象“暗算”里说的，就算是死路，也会给你一个参考。
何况已经知道是个“12片的梅花形”了。

如果要本质，7楼已经有答案了。
三角方程。

欢迎光临魔方吧·中文魔方俱乐部 (http://www.mf8-china.com/)