魔方吧·中文魔方俱乐部

标题: PLL的284态精简为21态的初步解释 [打印本页]
作者: 乌木    时间: 2009-10-11 10:24:32     标题: PLL的284态精简为21态的初步解释

看了一下21个PLL式的出现概率（http://www.rubik.com.cn/orientp.htm），原来，288态中有4个态是复原态旋转后的四态，无须公式。余下284个态精简为21态的方法除了转顶外，需要时还有魔方整体转－－CU，CU' 和CU2。
以棱块三轮换为例，一个公式代表了16个态，见下图。各PLL式的出现概率不尽相同，故各式所代表的顶层状态数不尽相同。除了复原态经旋转变出4个情况外，还有棱块两两交换中的“十字”交换态，经魔方整体旋转变出4个情况，其余的各PLL式都不止代表四个态！可见，有人原来认为每一公式经转顶后代表一共四个态的看法是不够的。不能说OLL之后顶层的状态总数为 21×4＝84，还是应该为（4！×4！）/ 2＝288。

    PLL转换例子－2.JPG
未完…………

下接37楼、38楼等

[ 本帖最后由 乌木 于 2011-2-6 14:58 编辑 ]

附件: PLL转换例子－2.JPG (2009-10-11 10:24:32, 34.18 KB) / 下载次数 279
http://www.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=NzE3MjV8ZmY4OWUxNWR8MTc2MjU4Nzk3OHwwfDA%3D
作者: 乌冬仔    时间: 2009-10-11 10:37:24     标题: 哇

哇..乌木老师真是厉害的...呵呵..对我们这些学习CFOP的很有帮助..收藏..收藏..
作者: 幺贰叁    时间: 2009-10-11 10:38:34

乌木老师的贴当然要顶了。
作者: 今夜微凉    时间: 2009-10-11 10:43:48

恩，这样解释就能很好解答21个PLL包含所有情况了~
作者: 榕城之蓝    时间: 2009-10-11 10:45:36

支持！    很有道理
作者: 乌木    时间: 2009-10-11 11:00:12

魔方小站的那个网页把棱块三轮换的两个公式（一顺时针另一逆时针）的概率算为1/ 9，即288×1/ 9＝32个情况，我1楼只是对一个棱块三轮换公式给出了一共16个情况，一样的，另一棱块三轮换公式应该也是16个情况。
此外，那网页中，计算时说的“选择”，比如这个例子中，四个棱块选择三个作三轮换的方式数目为C[sup]3[/sup][sub]4[/sub]，我1楼改一种大家熟悉的说法－－魔方整体转CU，CU'和CU2，就可利用同一三轮换公式。这正是大家做PLL前，除了适当转顶外，常常还要做适当的魔方整体转，才真正对得上某个公式。

[ 本帖最后由 乌木 于 2009-10-11 11:34 编辑 ]
作者: ykawyj    时间: 2009-10-11 11:15:46

哇 这个得顶  必须的
作者: wpaaa111    时间: 2009-10-11 11:23:18

乌木老师的贴当然要顶了。
作者: aubell    时间: 2009-10-11 11:31:29

乌木老师，细致耐心。顶。
作者: himan    时间: 2009-10-11 11:38:47

顶顶乌木老师```````讲得很详细
作者: wwd_meng    时间: 2009-10-11 12:18:14

虽然很想顶
但是我怎么看都看不懂耶
作者: cyz    时间: 2009-10-11 13:11:14

很深奥，我还是没看懂，如果仅算PLL出现在每个面（21*6）再算上每个角度（21*6*4）应该只有504中啊
作者: Lonely_7X    时间: 2009-10-11 13:35:28

感谢了，之前总认为是对应4种（U层的四个方向）没考虑到色的问题。
作者: xyb718378    时间: 2009-10-11 13:39:02

先顶再看哦
作者: 优雅の跑    时间: 2009-10-11 13:39:05

頂！！！！！！謝謝講解
作者: top0831    时间: 2009-10-11 13:42:08

dddddddddddddddddddddd
作者: 乌木    时间: 2009-10-11 15:39:06

原帖由 wwd_meng 于 2009-10-11 12:18 发表
虽然很想顶
但是我怎么看都看不懂耶


1楼的图**有16个PLL状态，除了最右边的一个是某一版本的一个PLL公式的初态之外，其余15个态可以如图所示做些简单的转换，都可以用这个三棱轮换公式完成顶层复原。也就是说，不必对这15个态另外给出15个公式，可以说是最右边的有关公式是“一举十六得”！

PLL公式中其余20个公式，都是这样或多或少的“一举多得”。这21式一共代表了284个态可以分别用21式之一完成顶层复原。284是做好OLL之后顶层的需要处理的全部情况数，还有四个态属于无须公式，只要简单转顶即可复原的态。这样，PLL的全部态数为288。

你还有什么不清楚的尽管问，我也是在和大家的探讨中逐渐琢磨到一点点东西，还不知是否有误。
作者: 乌木    时间: 2009-10-11 15:45:59

原帖由 cyz 于 2009-10-11 13:11 发表
很深奥，我还是没看懂，如果仅算PLL出现在每个面（21*6）再算上每个角度（21*6*4）应该只有504中啊


所谓“PLL”者，总是指下两层已经复原，且顶面已经同色，所以，不应该考虑“六个面”什么的。
但是，也不是21×4＝84 什么的！前面我已经说明为什么“84”是不符合实际情况的。

[ 本帖最后由 乌木 于 2009-10-11 15:49 编辑 ]
作者: erictrui    时间: 2009-10-11 16:00:56

怎么数学原理阶乘和概率都用上了？
作者: 乌木    时间: 2009-10-11 16:59:33

原帖由 erictrui 于 2009-10-11 16:00 发表
怎么数学原理阶乘和概率都用上了？


这是偷懒的办法，如果要不用这些劳什子也说清有关问题，倒真不容易。
作者: kexin_xiao    时间: 2009-10-11 17:26:54

再次和老师学习一下
作者: 外野手    时间: 2009-10-12 07:48:47

应该是乌木大师了吧，
一定得顶了，跟乌木大师学的东西多了
作者: 加贝    时间: 2009-10-12 08:30:31

乌木老师的帖子让人一目了然……还有欣然大哥貌似加错分了吧
作者: haohmaru    时间: 2009-10-12 08:47:53

举个简单的例子来说吧：
PLL03就是对棱换，通过U、U'、U2可以转换成其他的3个态
但PLL03只有这4个态
PLL01呢，根据所换3棱的颜色不同，会产生4套棱换，每套又可通过U、U'、U2转换成其他的态，所以PLL01总共可产生16个态
所以PLL所有的态不能简单的21*16来计算，要具体状态具体分析
作者: 乌木    时间: 2009-10-12 11:55:28     标题: 回复 24# 的帖子

“PLL03就是对棱换，通过U、U'、U2可以转换成其他的3个态
但PLL03只有这4个态
PLL01呢，根据所换3棱的颜色不同，会产生4套棱换，每套又可通过U、U'、U2转换成其他的态，所以PLL01总共可产生16个态
所以PLL所有的态不能简单的21*16来计算，要具体状态具体分析”

不同版本编号不同，你说的PLL03是指棱块两两交换之中的“十字”方式的交换那个状态吧？这一态的公式确实只是“一举四得”。它和复原态一样，对称性最高，都只有4种简单转换态。别的PLL公式都不止代表4种状态。
但也不是每一个公式的代表数都一样的，所以，确实“21×16”是没有意义的。也有的公式代表8个态。
作者: sjont    时间: 2009-10-12 12:08:54

提示: 作者被禁止或删除 内容自动屏蔽
作者: xhzwd    时间: 2009-10-12 14:43:01     标题: 回复 26# 的帖子

OLL后顶层只有21种PLL公式就证明不了啦，试一下用21条PLL公式反推涵盖所有情况的正确性。
21种公式情况加U转四种就是：
21x4=84种，用来解释加上U转的情况比较粗，因忽略了公式的对称性（CU转一下看同一公式能不能还原）。查标准21条PLL公式
01,02,05,06,08,09,10,11,12,,13,14,15,16,17,18,19没对称（CU转一方向不能应用同一公式）
04，07两对称（CU2转后可应用同一公式）
03，20，21四对称（CU转后可应用同一公式，20，21可能比较难解，只考虑最上层）
所以：16x4+2x2+3+1=72,(1就是完成后的一种情况)

加上魔方自身旋转（CU转）（更为“色交换”，OLL后只有四色变化）的四种情况就是：(乌木的提醒也有他的道理，因这是论坛随便发发意见不太严谨，起初想的时候不是这样子的，现更正一下：)
（“色交换”，可以理解为用两个已经还原的魔方，一个用蓝色做正面，一个用红色做正面，做同一条PLL公式后的状态，你觉得有什么不同吗？（理论上肯定不同，但对魔方还原的角度来说是一样的。））

72x4=288

哈哈刚好与数学模型计算出来的答案一样！！

所以呢，在魔方复原的道理来说：

OLL后顶层只有72种（71）状态！

[ 本帖最后由 xhzwd 于 2009-10-13 09:25 编辑 ]
作者: 乌木    时间: 2009-10-12 14:52:25

原帖由 sjont 于 2009-10-12 12:08 发表
（4！×4！）/ 2＝288 是所有状态数，根据单独两块不能单独交换，所以再除以二~~~那 288到84如果用纯数学方法怎么推？或者说288到90，因为连上还原好的4个方向 那就是90种交换效果是一样的状态 能用数学方法推么


其实，我的数学是“天晓得”的，稍为进一步的问题我是不懂的了。对你的问题，说说我的想法，不对的话，望大家指正。
那“288”的结果有个前提－－参照物中心块不动，也就是下两层不动，那么，顶层的、相对于中心块而言的各块位置变化总数才有288个。实际复原起来，好多个不同的情况完全可以经过简单转换而执行同一个公式。为此，“简单转换”的方法，总是允许转顶和魔方整体转的。好，魔方整体转就一定使中心块整体动了，这只是为了精简公式数，让一个公式可以一式多用而已。转顶会改变状态，而魔方整体动并不改变状态，两种运动方式组合后产生的所有结果都逃不出“288”种状态，如此而已。

精简的是公式数，并不是状态总数。这样才谈得上“遇到21式没有的情况可以简单转换后对上某一PLL式”云云。如果采取比如捆绑若干个块来限制某些运动，那么状态总数才会减少。

至于如何精简为21式的，我想，http://www.rubik.com.cn/orientp.htm中给出的计算应该足够了。

[ 本帖最后由 乌木 于 2009-10-12 15:06 编辑 ]
作者: 乌木    时间: 2009-10-12 15:10:44

此事正像对于四千亿亿个魔方态无须给出四千亿亿个复原步骤一样，只要给出相对而言为数极少极少的公式足够了。
作者: lernem    时间: 2009-10-12 15:21:01

有些看不懂了饿　　　　　　　　　
作者: fuwu1927    时间: 2009-10-12 15:40:48

乌木老师终于见到你的LZ贴了，
虽然你解答问题时发表很多经典的解释，
但是这些都不好搜索，只有靠运气偶尔碰到

由此，产生个想法，怎样才能在回复当中搜索的乌木呢？
作者: Pk锋    时间: 2009-10-12 15:54:02

那么四阶有PLL特殊的时候总共又有多少种情况呢？
作者: 乌木    时间: 2009-10-12 16:05:37     标题: 回复 30# 的帖子

“有些看不懂了哦”

是不是有关状态数、参照物等等？我说个具体例子吧。1、3、4号棱块要顺时针三轮换态和4、2、3号棱块要顺时针三轮换态，相对于参照物中心块而言，是不同的态，但是改变一下其中一个魔方的取向，两者就可以执行同一公式了。如果谁也不许动，那就要两个公式了－－比如，R2 U MF' U2 MF U R2 和 B2 U MR' U2 MR U B2 了。
刚才执行同一公式一事，只是精简了公式，并未减少状态。
作者: 乌木    时间: 2009-10-12 16:29:36

原帖由 高阶Pk锋 于 2009-10-12 15:54 发表
那么四阶有PLL特殊的时候总共又有多少种情况呢？


这问题还未见过有关帖子。试着探讨探讨，各位指正。
四阶的下面三层保持复原态，顶面保持同色，顶层各块的位置变化起来，相对于不动的下三层而言，角块的位置变化数为4！（允许单单两角交换）。均布于四条边上的、可以不翻色换位的棱块只有四个，它们的位置变化数为4！（允许单单两棱交换）。其余四个棱块的位置变化数也是4！。各心块的位置变化看不出，我们对它们的变化只好“视而不见”。
所以，纯色四阶的PLL状态总数是否为（4！）[sup]3[/sup] ＝13824   ?
其中包括了相对于三阶而言的所谓“特殊”情况（其实有些情况是不宜和三阶比较的，因为有的情况在三阶中没有那种性质的块，怎么可以比较呢）。

[ 本帖最后由 乌木 于 2009-10-12 16:42 编辑 ]
作者: lucki1987    时间: 2009-10-12 21:40:27

如此好帖，，加分怎么加到2楼去了。。。
作者: 乌木    时间: 2009-10-12 22:05:55     标题: 回复 31# 的帖子

“怎样才能在回复当中搜索的乌木呢？”
正是。我常常要找我发过的跟帖，或别人的跟帖，想不起在哪里，有时只好再写一遍。论坛能有搜索跟帖的功能就好了。
作者: 乌木    时间: 2009-10-13 10:45:57     标题: PLL的288个初态之由来

OLL做好后，顶层的可能状态有288个，下图可以给出全部288个态。下图第一套的态和第二套的态不能组合（意思是用转魔方的方法是转不出的，除非拆了随机组装），这也说明了（4！×4！）/ 2＝288 计算中除以2的含义。
   PLL的288个初态的由来.JPG

[ 本帖最后由 乌木 于 2009-10-19 10:29 编辑 ]

附件: PLL的288个初态的由来.JPG (2009-10-19 10:29:16, 42.51 KB) / 下载次数 115
http://www.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=NzI4NjZ8NDFjMWE0ZmR8MTc2MjU4Nzk3OHwwfDA%3D
作者: 乌木    时间: 2009-10-18 21:49:37     标题: “288态”与“21式”全图

不会用什么什么软件画图，在“图画”中画起来质量不高，但愿没画错。图中红色框内是21个PLL式之一，与它有关的态联系在一起。不同版本的初态图不同，但一个PLL式代表的态数是一样的，你可以据下图变换。
288态与21式－1.JPG
288态与21式－2.JPG
288态与21式－3.JPG
288态与21式－4.JPG

[ 本帖最后由 乌木 于 2009-10-18 23:12 编辑 ]

附件: 288态与21式－1.JPG (2009-10-18 21:49:37, 34.62 KB) / 下载次数 110
http://www.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=NzI4MzV8MDViMjc1NDJ8MTc2MjU4Nzk3OHwwfDA%3D

附件: 288态与21式－2.JPG (2009-10-18 21:49:37, 24.89 KB) / 下载次数 119
http://www.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=NzI4MzZ8YTk5YjMzY2J8MTc2MjU4Nzk3OHwwfDA%3D

附件: 288态与21式－3.JPG (2009-10-18 22:43:31, 26.26 KB) / 下载次数 123
http://www.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=NzI4Mzd8YzhiNmQ4NGZ8MTc2MjU4Nzk3OHwwfDA%3D

附件: 288态与21式－4.JPG (2009-10-18 23:12:37, 26.75 KB) / 下载次数 112
http://www.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=NzI4Mzl8Y2ZkYzFkZGV8MTc2MjU4Nzk3OHwwfDA%3D
作者: 乌木    时间: 2009-10-18 21:52:46

288态与21式－5.JPG
288态与21式－6.JPG
288态与21式－7.JPG
288态与21式－8.JPG

[ 本帖最后由 乌木 于 2009-10-19 16:08 编辑 ]

附件: 288态与21式－5.JPG (2009-10-19 11:20:21, 21.27 KB) / 下载次数 119
http://www.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=NzI4OTl8MjVjNTMxNWV8MTc2MjU4Nzk3OHwwfDA%3D

附件: 288态与21式－6.JPG (2009-10-19 11:43:47, 11.89 KB) / 下载次数 135
http://www.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=NzI5MDJ8YTkyNDA5Mjl8MTc2MjU4Nzk3OHwwfDA%3D

附件: 288态与21式－7.JPG (2009-10-19 14:51:02, 27.26 KB) / 下载次数 113
http://www.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=NzI5MzF8NzgwYWRhZjh8MTc2MjU4Nzk3OHwwfDA%3D

附件: 288态与21式－8.JPG (2009-10-19 16:08:06, 26.92 KB) / 下载次数 115
http://www.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=NzI5NjZ8YjRhOWM2YTB8MTc2MjU4Nzk3OHwwfDA%3D
作者: 乌木    时间: 2009-10-18 21:54:59

288态与21式－9.JPG
288态与21式－10.JPG
288态与21式－11.JPG
288态与21式－12.JPG
288态与21式－13.JPG

[ 本帖最后由 乌木 于 2009-10-19 22:54 编辑 ]

附件: 288态与21式－9.JPG (2009-10-19 19:08:22, 28.72 KB) / 下载次数 136
http://www.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=NzI5Nzh8OWE5OTk0OTB8MTc2MjU4Nzk3OHwwfDA%3D

附件: 288态与21式－10.JPG (2009-10-19 20:01:37, 28.91 KB) / 下载次数 119
http://www.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=NzI5Nzl8Zjk2YTY1YWF8MTc2MjU4Nzk3OHwwfDA%3D

附件: 288态与21式－11.JPG (2009-10-19 20:38:59, 28.83 KB) / 下载次数 127
http://www.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=NzMwMDN8NDA0ZDdjYmJ8MTc2MjU4Nzk3OHwwfDA%3D

附件: 288态与21式－12.JPG (2009-10-19 21:28:08, 28.53 KB) / 下载次数 122
http://www.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=NzMwMTN8MDkyZmNmOGF8MTc2MjU4Nzk3OHwwfDA%3D

附件: 288态与21式－13.JPG (2009-10-19 22:54:07, 28.62 KB) / 下载次数 116
http://www.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=NzMwMTV8YmI4NWZjOTJ8MTc2MjU4Nzk3OHwwfDA%3D
作者: 乌木    时间: 2009-10-18 21:56:19

288态与21式－14.JPG
288态与21式－15.JPG

[ 本帖最后由 乌木 于 2009-10-20 17:18 编辑 ]

附件: 288态与21式－14.JPG (2009-10-20 16:07:50, 26.4 KB) / 下载次数 97
http://www.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=NzMxNDF8Yjg3ZjZmNDV8MTc2MjU4Nzk3OHwwfDA%3D

附件: 288态与21式－15.JPG (2009-10-20 17:18:34, 16.85 KB) / 下载次数 169
http://www.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=NzMxNjF8YjlhOGE2NzR8MTc2MjU4Nzk3OHwwfDA%3D
作者: 蒙特    时间: 2009-10-18 21:58:04

乌木老师强，！顶啦！
作者: 乌木    时间: 2009-10-18 21:59:54

288态与21式－16.JPG
288态与21式－17.JPG
288态与21式－18.JPG
288态与21式－19.JPG

[ 本帖最后由 乌木 于 2009-10-20 22:08 编辑 ]

附件: 288态与21式－16.JPG (2009-10-20 19:30:22, 27.55 KB) / 下载次数 100
http://www.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=NzMxNjd8YmJlMGIxODN8MTc2MjU4Nzk3OHwwfDA%3D

附件: 288态与21式－17.JPG (2009-10-20 22:03:32, 27.5 KB) / 下载次数 103
http://www.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=NzMxOTR8MmVhMjE1Mzd8MTc2MjU4Nzk3OHwwfDA%3D

附件: 288态与21式－18.JPG (2009-10-20 22:08:56, 27.54 KB) / 下载次数 104
http://www.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=NzMxOTd8YjgxOWRhN2F8MTc2MjU4Nzk3OHwwfDA%3D

附件: 288态与21式－19.JPG (2009-10-20 22:08:56, 29.07 KB) / 下载次数 106
http://www.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=NzMxOTh8NTg2ZmJmM2Z8MTc2MjU4Nzk3OHwwfDA%3D
作者: cj503    时间: 2009-10-19 09:52:19

提示: 作者被禁止或删除 内容自动屏蔽
作者: qq46475692    时间: 2009-10-19 12:09:21

个人感觉没有什么实际用处。。
作者: 乌木    时间: 2009-10-19 14:30:05     标题: 回复 45# 的帖子

有用也好，没用也罢，做好OLL之后，在做PLL之前，顶层的状态逃不出那288个。至于实际运用时，不大会去查看角块和棱块需要调动的方式是前面状态图中的哪一个，而是另有一套巧妙、实用的判断方法，这是另一回事了。本帖仅就21式的由来做点解释而已。
作者: 乌木    时间: 2009-10-21 09:32:20

总算把288个PLL态贴完了，如有误，请大家指出。
一式解决16个态的有16个关系图；一式解决8个态的有2个图；一式只能解决4态的有4个图（其中复原态不列入21式）。

[ 本帖最后由 乌木 于 2009-10-21 18:52 编辑 ]
作者: 乌木    时间: 2009-10-21 18:51:29

至于OLL57式的由来，请看：http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=22872
作者: 乌木    时间: 2009-10-23 07:13:15

再对新手累赘几句。
上面画出了（比如）16个态共用一个PLL公式，并不是说非得用那个公式不可。21个PLL公式之间完全可以互相转换。比如，三角轮换并三棱轮换的情况可以两次做PLL公式，一次做三角轮换，另一次做三棱轮换。等等。有人说可以先掌握（比如）两个三角轮换公式和两个三棱轮换公式。慢慢再扩大公式记忆量。
作者: 黄河    时间: 2009-10-23 09:55:00

太好了！感谢乌木老师啊

作者: magicfly    时间: 2009-10-24 03:21:52

高,实在是高!

感谢乌木老师分享心得!
作者: mjhy61    时间: 2009-10-29 11:49:22

高手，太强了，不顶不行了。
作者: 魔鱼儿    时间: 2009-10-29 12:11:45

好专业的解释,强悍,顶/
作者: zhouchi    时间: 2009-11-22 05:50:01

好深奥。。。等我领悟一下。。。
作者: 梧桐问秋    时间: 2009-11-22 09:22:27

了解了,谢谢老师
作者: 大板    时间: 2009-12-17 18:16:17

谢谢乌木了，您研究魔方这种心态跟大家疯狂追求速度完全是两种境界，向您致敬。
作者: bluesky812    时间: 2009-12-17 18:33:00

乌木老师的贴当然要顶了。
作者: zhwnuaa    时间: 2009-12-17 18:44:51

有利于提高大家的数学水平
作者: 乌木    时间: 2014-2-7 11:47:05

本帖最后由 乌木 于 2014-2-7 11:49 编辑

关于各个PLL公式的出现概率，可以参看魔方小站的这个页面：http://www.rubik.com.cn/orientp.htm，如果一时不懂其中关于有关概率的解释，不妨如下这样从另一角度想：

本帖38楼等给出了PLL公式各自所负责解决的几种状态，比如某个PLL公式实际上要解决一共16个状态，那么该公式（所要解决的状态）的出现概率就是16/288＝1/18，等等，288是顶面同色之后，顶层可能出现的各块位置变化的总数。
作者: 碎玉_玲珑    时间: 2014-2-7 11:58:20

顶顶顶啊啊
作者: 春暖花开人美    时间: 2015-7-12 14:36:14

看懂了“下两层复原后，顶层角块的色向情况，考虑了同一情况不同方向合并为同一种，只可能有8种”，明白了这8种情况，但为什么是八种，还要研究。
作者: 春暖花开人美    时间: 2015-7-15 17:54:02

j角态按数学计算是4！=24，棱态也是。至于分成两套应是魔方的结构特点决定的。搞清楚恐怕要相应的理论知识。请老师指点！



欢迎光临 魔方吧·中文魔方俱乐部 (http://www.mf8-china.com/) Powered by Discuz! X2