![[讨论]小议“循环”](static/image/common/none.gif "[讨论]小议“循环”")
所谓循环通常的意思就是周而复始的变化或者运动。而论坛中循环的意思太多太杂，有时候讨论起来就像鸡同鸭讲，“循环”一词的语义并没有统一。
所以讨论的时候还是要事先讲明“循环”是那一种意思，在那一段或者那几段里是该种意思，在那一段或者那几段是另外一种意思。否则讨论起来又乱套了。
下面直到该贴结尾我讨论的各种循环都加以了解释，都规定了特定的含义，请不要与其他的循环混为一谈。谢谢
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循环：指魔方状态经过一系列转动周而复始，是魔方状态的循环，不改变魔方状态，初末状态相同（不一定是复原态）。
循环公式：能使魔方状态循环的转动公式。
简单循环公式：一个转动再加一个与之相逆的转动两转构成的转动公式。如R R- 等。
初等循环公式：由简单循环相连接或者整体嵌套构成的循环公式，如R R- U U-， U R R- U-等。
简单循环公式与初等循环公式都很好理解，一正接一逆或者一正接一逆嵌套在一正接一逆中，还可以再搞复杂一些，但很容易一眼通过合并正逆等就看出不会改变魔方的初始状态。
但还有一些循环公式很奇怪：
比如最简单的：R L R- L-
既不是简单循环公式，也不是初等循环公式。因为R 与 R-在公式里并不相邻，不能合并。即使变化为：
L R- L- R ， R- L- R L ， L- R L R- 等，R 与 R-在公式里还是不相邻，不能合并。
但，这个简单的四步却使魔方状态循环了。
这个可能大家具体操作一下就能明白，熟练的可能在脑子里转几下就明白了。
但 B U B- R- U R- F R F- U- R U- 这个就不是能很容易就看出是使魔方循环变化的公式。它也没有形同R R- 这样的项可以合并。形象地说就是不能化简。
这样的式子很多，它们对解决最少步骤是又一定的作用的。
比如就拿这个来说：B U B- R- U R- F R F- U- R U-
把复原的魔方经过B- R- U R- F R F- U- R U-的转动，表面看需要执行它的逆步骤(B- R- U R- F R F- U- R U-)- 。这样就需要10步来复原，但事实只需要2步 B U 就可以了，这是很难想像的。
暂且就这么多了，希望大家积极讨论，就事论事，不要带情绪。
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再申明一次：
上面我讨论的各种循环都加以了解释，都规定了特定的含义，请不要与其他的循环混为一谈。谢谢
也就是说（B U）（ B- R- U R- F R F- U- R U- ）和（B- R- U R- F R F- U- R U-）（B U）等当。这种情况蛮多的，很有趣。
假如每一步得一个新态，前12个态成一个环，后12个态成一个环，两个环只有一个相同的态（初态），还有22个态相互不同。布排起来有如一个“8”字。那23个态虽然相互不同，但态态之间的操作有着上述有趣的循环现象。
此外，一个一个操作步骤依次循环，得到12个公式，都可回到同一初态：
B U B- R- U R- F R F- U- R U-
U B- R- U R- F R F- U- R U- B
B- R- U R- F R F- U- R U- B U
R- U R- F R F- U- R U- B U B-
U R- F R F- U- R U- B U B- R-
R- F R F- U- R U- B U B- R- U
F R F- U- R U- B U B- R- U R-
R F- U- R U- B U B- R- U R- F
F- U- R U- B U B- R- U R- F R
U- R U- B U B- R- U R- F R F-
R U- B U B- R- U R- F R F- U-
U- B U B- R- U R- F R F- U- R
********************* 以下内容为 ggglgq 回复 *********************
所谓循环通常的意思就是周而复始的变化或者运动。而论坛中循环的意思太多太杂，有时候讨论起来就像鸡同鸭讲，“循环”一词的语义并没有统一。
所以讨论的时候还是要事先讲明“循环”是那一种意思，在那一段或者那几段里是该种意思，在那一段或者那几段是另外一种意思。否则讨论起来又乱套了。
下面直到该贴结尾我讨论的各种循环都加以了解释，都规定了特定的含义，请不要与其他的循环混为一谈。谢谢
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循环：指魔方状态经过一系列转动周而复始，是魔方状态的循环，不改变魔方状态，初末状态相同（不一定是复原态）。
循环公式：能使魔方状态循环的转动公式。
简单循环公式：一个转动再加一个与之相逆的转动两转 构成的转动公式。如R R- 等。
初等循环公式：由简单循环相连接或者整体嵌套构成的循环公式，如R R- U U-， U R R- U-等。
简单循环公式与初等循环公式都很好理解，一正接一逆或者一正接一逆嵌套在一正接一逆中，还可以再搞复杂一些，但很容易一眼通过合并正逆等就看出不会改变魔方的初始状态。
但还有一些循环公式很奇怪：
比如最简单的：R L R- L-
既不是简单循环公式，也不是初等循环公式。因为R 与 R-在公式里并不相邻，不能合并。即使变化为：
L R- L- R ， R- L- R L ， L- R L R- 等，R 与 R-在公式里还是不相邻，不能合并。
但，这个简单的四步却使魔方状态循环了。
这个可能大家具体操作一下就能明白，熟练的可能在脑子里转几下就明白了。
但 B U B- R- U R- F R F- U- R U-
这个就不是能很容易就看出是使魔方循环变化的公式。它也没有形同R R- 这样的项可以合并。形象地说就是不能化简。
这样的式子很多，它们对解决最少步骤是又一定的作用的。
比如就拿这个来说：B U B- R- U R- F R F- U- R U-
把复原的魔方经过B- R- U R- F R F- U- R U-的转动，表面看需要执行它的逆步骤(B- R- U R- F R F- U- R U-)- 。这样就需要10步来复原，但事实只需要2步 B U 就可以了，这是很难想像的。
暂且就这么多了，希望大家积极讨论，就事论事，不要带情绪。
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再申明一次：
上面我讨论的各种循环都加以了解释，都规定了特定的含义，请不要与其他的循环混为一谈。谢谢
小邱 的学术态度还是比较严谨的，这是应该赞赏的。
遗憾，又开始把几个循环混为一谈了。
呵呵，这正是 小邱 对“循环公式”的理解不正确引起的呀！
请大家参考 12 楼以后的内容。
********************* 以上内容为 ggglgq 回复 *********************
[此贴子已经被ggglgq于2007-4-20 13:32:07编辑过]
设：F=f1+f2,f1'是f1的逆
f2+f1=f1'+f1+f2+f1=f1'+F+f1
如果F始末二态相同，f1'+F+f1将不会改变始态，所以f2+f1始末二态相同
所谓始末同态的循环公式，就这么简单。
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循环公式总能转换为等价的相似变换格式，而相似变换的性质却如此直观明了。魔方以纷乱万象迷惑玩家，找出其基本规律则是一种乐趣，也是一种挑战，不管多么复杂，只要窥透了基本规律，就是人战胜了魔方。
循环类型1：始末同态时，公式复用的次数
循环类型2：始末同态时，公复使用一次，显然是类型1的特例
循环类型3:公式队列向左或向右循环位移获得的公式始末二态相同，本质上是类型2的循环公式组
[此贴子已经被作者于2007-4-18 23:49:12编辑过]
楼上冬兄说：“……如果F始末二态相同，……”
那么，不经具体转动魔方，是否有办法可知道一串动作“F=f1+f2”的“始末二态相同”？如果不知道“F=f1+f2”的始末二态相同不相同，应该无法说f2+f1始末二态相同还是不相同的。对吗？
乌兄言之有理，简单的公式很容易非转动判断，但就一般性而言，f1+f2的始末二态需要手工验证，目前没有见到F（状态1）=状态2这样的函数。我的上例只想说明一点，循环公式本质上很简单，仅仅只是一个等长相似变换组，并不是故意想将问题说得如此简单，但事实是证明过程才二行，复杂从何而来？始末同态只是相似变换定义复盖的特例，循环公式的一切属性，都可以在相似变换的定义和推论中找到答案。
[此贴子已经被作者于2007-4-18 23:11:44编辑过]
无题：
接近复初时有“同态”现象，中腹部分是否有“同态”现象，怕迷路，暂时不敢去探。
附件: [[讨论]小议“循环”] Krq4upeM.gif (2007-4-19 00:14:45, 12.15 KB) / 下载次数 72只要F始末同态，任意截F为二段f1和f2，F=f1+f2,F'=f2+f1,前面证明可知，F'与F恒为等价操作，这是公式形式无关的通用结论，无须画图分析
[此贴子已经被作者于2007-4-19 1:18:18编辑过]
遗憾，又开始把几个循环混为一谈了。
邱志红：
循环公式：能使魔方状态循环的转动公式。
简单循环公式：一个转动再加一个与之相逆的转动两转构成的转动公式。如R R- 等。
初等循环公式：由简单循环相连接或者整体嵌套构成的循环公式，如R R- U U-， U R R- U-等。
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pengw:
对第一种循环：所有公式都满足
对第二种循环：显然是使用一次而始末同态的公式
对第三种循环：跟第二种等价
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本质上，状态循环对公式而言，只是使用公式一次或几次的问题。小邱能不能举一个不基于这种定义的公式循环例子？尚没有看到有说服力的例外。
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如果：
1。f是循环周期为3的公式，f+f+f是循环周期为1的公式，有意义否？
2。f1,f2,f3，。。fn都是循环周期相同的公式，任意组合这几个公式有什么意义？
3。f1,f2,f3，。。fn都是循环周期互不相同的公式，任意组合这几个公式是什么结果？
3。F是循环周期为t的公式,有任意公式f及其逆f',相似变换预言：f'+F+f的循环周期是t,意味着什么？
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因此进行最基本的、定义明确的分析是必要的
[此贴子已经被作者于2007-4-19 9:49:09编辑过]
我的一些图倒不是用来分析上面你们的有关理论讨论的，只是由本帖话题引出的一些想法，也许与邱兄所说的循环无关。那么，各位看过算数，别受干扰才好。
比较下图中红环和蓝环可以知道红线不是半途搭上蓝线、而是最后两步（蓝色*号处）搭上蓝线（逆行）回到初态的。红线的另一画法见再下一图。
下图中，从初态沿红线到该循环式的最远态a（即b）再按绿线（逆蓝线）回到初态，更直观地成一个环了，它全同于整条红线所代表的循环式。
蓝线是红线的逆步骤，也通到复初态，但不是此处讨论的12个依次循环式，画出来仅供绿线逆行用。绿线段就是“逆逆下半段红线”，即下半段红线。
12个循环线路分别改画为类似这半段红半段绿的环线的话，大概蛮“壮观”的。但是比起10的19次方个总态数及它们之间的复杂关系来，只是汪洋之一滴！
上面把a态当作该环的“最远”点，是没多大道理的，仅是因为有了“初态”在，a就取中点而已。既然是环，无头无尾，a点下来一态，b点就上去一态。最后两步并入原有的两步（上图的蓝*处）是为了合并同态。图的中腹部分是否有同态需合并，这样的不完整的图中看不出。
[此贴子已经被作者于2007-4-19 20:26:51编辑过]
附件: [[讨论]小议“循环”] cJT4iNyn.gif (2007-4-19 19:41:14, 12.81 KB) / 下载次数 143附件: [[讨论]小议“循环”] ZO7vzu00.gif (2007-4-19 19:44:19, 15.33 KB) / 下载次数 133附件: f5T4nk3E.gif (2007-4-19 19:59:34, 13.21 KB) / 下载次数 71附件: BLjMIlBa.gif (2007-4-19 20:26:30, 15.38 KB) / 下载次数 68不过，有部分同态还是可以看出的。下图中编号相同的态是同态。如果此图画完整了，而且同态全合并了，有关的路线看上去就成一团乱蔴了吧？
乌木 先生对“循环变换球面网”的理解比我透彻呀！[em17] 佩服 乌木 先生的探索精神！[em17]
[此贴子已经被ggglgq于2007-4-20 14:03:03编辑过]
附件: [[讨论]小议“循环”] V8TPurpg.gif (2007-4-20 11:16:42, 12.61 KB) / 下载次数 39
顺便在这里谈谈“循环变换”：“循环变换”是兼顾上面 三个方面 的“浓缩”的、
“高效”的 “循环”，“循环变换理论”正是利用这种“浓缩”的、“高效”的“循环”
来研究各类魔方的最少步还原问题。
比如：
为了使大家更好地理解 魔方的最远状态（或 任意状态） 与 循环变换 的 关系，
我在这里用 二阶平面魔方的最远状态（二阶平面魔方 只有一个最远状态） 做说明：
注：因为 二阶平面魔方 只有一个最远状态 ，大家好理解，其它魔方同理。
1.找到一个 循环变换（很难找的，对于 二阶平面魔方 当然容易了）；
比如 二阶平面魔方 的一个 最长的 循环变换（由两个 最长变换 构成 ）：
L R U D R L D U
2.由于 一个 循环变换 的 “逆变换”也是 循环变换，故 得到 L R U D R L D U
“逆变换”
U D L R D U R L
也是一个 循环变换。
（请大家注意，对于其他魔方来说 L R U D R L D U “逆”为 -U -D -L -R -D -U -R -L ，
对于 二阶平面魔方 才有 -U -D -L -R -D -U -R -L = U D L R D U R L ，因为它
有长度为 2 的循环变换：比如 U U 。 这一点对其他魔方 不适用的）
3.由 循环变换 L R U D R L D U 得到 以下八个 半子变换 都是 最远状态：
L R U D
R U D R
U D R L
D R L D
R L D U
L D U L
D U L R
U L R U
4.由 循环变换 U D L R D U R L 得到 以下八个 半子变换 都是 最远状态：
U D L R
D L R D
L R D U
R D U R
D U R L
U R L U
R L U D
L U D L
5.二阶平面魔方 只有一个最远状态 ，大家可以试试。其他魔方可就复杂多了！
以上 十六 个 半子变换（全是最少步变换） 都指向 同一个 最远状态。
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