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标题: 第一届IMO的一道题 [打印本页]

作者: itdkrnyle 时间: 2009-7-22 08:41:34 标题: 第一届IMO的一道题

证明分数（21n+4）/（14n+3）对每个自然数n都是最简分数

作者: islandsea 时间: 2009-7-22 09:30:28

反证法
假设21n+4=am,14n+3=bm, m≠1
那么42n+8=2am和42n+9=3bm有公因数m
而42n+8和42n+9是相邻的两个数，公因数为1，所以m=1
矛盾

作者: q376997368 时间: 2009-7-22 10:05:27

原帖由 islandsea 于 2009-7-22 09:30 发表
反证法
假设21n+4=am,14n+3=bm, m≠1
那么42n+8=2am和42n+9=3bm有公因数m
而42n+8和42n+9是相邻的两个数，公因数为1，所以m=1
矛盾

还要设有a,b没有除一以外的因数条件，或者说a/b是最简分数
个人认为，有错请讲

作者: Atato 时间: 2009-7-22 10:34:02

跟ab无关的.ab的作用只是为了放缩出42n+8和42n+9

作者: itdkrnyle 时间: 2009-7-24 12:23:03

55555555555
怎么这么少人呀,

作者: 魔宝脱B 时间: 2025-6-2 21:29:54

本帖最后由魔宝脱B 于 2025-6-3 20:25 编辑

一个特别简单的方法：（21n+4）/（14n+3）=1+（7n+1）/（14n+3）=1+（7n+1）/【2（7n+1）+1】=1+（7n+1）/（7n+1）【2+1/（7n+1）】（一个繁分式）=1+1/【2+1/（7n+1）】，看分式部分，1/（7n+1）显然最简，由a/b+2=（2a+b）/b可知，分母部分不可约分，在将整个式子取倒数，所得分式不可约分，所以原式+1仍然最简，所以原分式不可约分，所以（21n+4）/（14n+3）为最简分数（当且仅当n为自然数时上述结论成立）

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