2006-11-25 11:59:03 上传
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为阐述魔方原理，我引入了一个名叫“跷跷板原理”的公理。其内容是：
在同一魔方上，如果一个方块处于一种状态，那么一定存在存在着另外一些方块，这些方块的状态和与前一方块的状态相反。 ---------这很像跷跷板的运动（当然更复杂），故名之。
运用这一公理，再引入适当的符号，就可以很好解释魔方的各种花样，并可以断言不存在某些花样。更为重要的是，运用这一原理还可以计算出魔方所有图案的总数！
当然，这一公理并没有突破群论的原理。但它直观易懂，连中小学生也能理解（譬如我那个数学很糟的上初中的女儿）。
愿同好者与我联系--------手机：13098039627
E-MAIL：rongduo388@sina.com
[此贴子已经被作者于2004-9-28 17:27:12编辑过]
猪老弟，你大概不知道，我其实是一个老头子。
贴子所说的东西，是我多年以前的心得。贴子上所说的一切都是真实的。你可以想象，证明是非常复杂的。目前，我还没有时间把它全部发表出来。但将来肯定会全文发表。
谢谢你注意到我的贴子。
容多敬上
[em12]期待着！
[em05][此贴子已经被作者于2004-9-4 18:37:19编辑过]
我要看!!~~~~~~
[em02][em01][此贴子已经被作者于2004-9-8 22:55:53编辑过]
一人一本啦,哈哈
看来楼主玩魔方已以玩到最高境界了。不知钻研了几年？
希望早日拜读大作！
见者有份啊！见者有份啊！
很多年前，在学会六面还原后我就产生过很多想法，包括魔方的数学模型问题（即用什么数学方法可以描绘魔方的各种旋转变化的问题），但一直没什么头绪。
希望早日拜读大作！
为阐述魔方原理，我引入了一个名叫“跷跷板原理”的公理。其内容是：
在同一魔方上，如果一个方块处于一种状态，那么一定存在存在着另外一些方块，这些方块的状态和与前一方块的状态相反。 ---------这很像跷跷板的运动（当然更复杂），故名之。
运用这一公理，再引入适当的符号，就可以很好解释魔方的各种花样，并可以断言不存在某些花样。更为重要的是，运用这一原理还可以计算出魔方所有图案的总数！
当然，这一公理并没有突破群论的原理。但它直观易懂，连中小学生也能理解（譬如我那个数学很糟的上初中的女儿）。
愿同好者与我联系--------手机：13098039627
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依据P3定理,
中心块可以独立自转180,完全不必有另一状态相反的某个块与之对应
独立换位的三个角块,无必然存在的某些其它块的状态与之对应
希谨思
[此贴子已经被作者于2005-1-14 12:27:15编辑过]
16楼 pengw说：
“中心块可以独立自转180,完全不必有另一状态相反的某个块与之对应。
独立换位的三个角块,无必然存在的某些其它块的状态与之对应。”
我完全同意，举例证明之：
对任一状态，做< R'L'U2 R L U R'L'U2 R L U >,则仅一个中心块转180度。
对任一状态，做< U'L'U R U'L U R'>,则仅三个角块发生轮换等变化。
为看得清楚，可都从六面复原态开始做上述两操作。
[此贴子已经被作者于2005-9-3 20:41:21编辑过]
16楼 pengw说：
“中心块可以独立自转180,完全不必有另一状态相反的某个块与之对应。
独立换位的三个角块,无必然存在的某些其它块的状态与之对应。”
我完全同意，举例证明之：
对任一状态，做< R'L'U2 R L U R'L'U2 R L U >,则仅一个中心块转180度。
对任一状态，做< U'L'U R U'L U R'>,则仅三个角块发生轮换等变化。
为看得清楚，可都从六面复原态开始做上述两操作。
魔方的状态不能用简单的"此消彼长"来解释,乌先生的举例就是实证,无论是手工组装,还转动变换,都无一例外地受到状态定律制约,在N阶定律下,任意阶魔方的任意状态都可得到正确预言,进而与状态有关的计算(转动/组装状态数,公式循环周期)都迎忍而解,这些问题的解决,给大家一个强烈的暗示,状态描述完全不用理会转动步骤.但就N阶定律的形式而言可能存在多样性,但就状态描述而言,必然等价.
下一个也是唯一的一个高峰就是,找出N阶魔方任意二个状态的最短转换步数,包括乌先生在内的很多魔友都在浴血冲击,虽然前方暗无天日.
[此贴子已经被作者于2005-9-4 9:42:20编辑过]
真希望多有一些专家，系统地讲讲魔方的理论问题，以提高我国魔方的整体水平。真心希望大作能早日面世。能写得普及一些就更好！
为阐述魔方原理，我引入了一个名叫“跷跷板原理”的公理。其内容是：
在同一魔方上，如果一个方块处于一种状态，那么一定存在存在着另外一些方块，这些方块的状态和与前一方块的状态相反。 ---------这很像跷跷板的运动（当然更复杂），故名之。
运用这一公理，再引入适当的符号，就可以很好解释魔方的各种花样，并可以断言不存在某些花样。更为重要的是，运用这一原理还可以计算出魔方所有图案的总数！
当然，这一公理并没有突破群论的原理。但它直观易懂，连中小学生也能理解（譬如我那个数学很糟的上初中的女儿）。
愿同好者与我联系--------手机：13098039627
E-MAIL：rongduo388@sina.com
首先，把复原的魔方一个表层转动90度，中心块的变化如何解释？
存在的问题：
1.只有一个中心块发生变化，没有其他的中心块与之发生相反的变化。
2.你可能要说另外一些方块，不一定是与前一方块是同类型的块。这也说不过去，因为一个 表层转动90度的时候，所有块都是朝一个方向（顺时针或逆时针）旋转，何来相反状态的块？
不知道你是如何解释的。我理解有误的地方，也希望你指正，谢谢
你说：引入适当的符号，就可以很好解释魔方的各种花样，并可以断言不存在某些花样。更为重要的是，运用这一原理还可以计算出魔方所有图案的总数！
没有必要把问题复杂化，用1，2，3，4，5……就可以解释了。
见我的帖子：几个根基东西的证明
http://bbs.mf8-china.com/dispbbs.asp?BoardID=15&replyID=35606&id=3030&skin=0
[此贴子已经被作者于2006-11-20 22:59:48编辑过]
很长时间没有登陆魔方吧了，一方面是忙，另一方面我对无聊的争吵和漫骂很不感兴趣。
这期间，有网友对跷跷板原理提出了不同的质疑，鉴于我的小书那时还未挂出，仅凭一则帖子难免引起误解，难以作出全面的回应，所以也就没有一一作答，望有关网友谅之。
以往网友提出的各种质疑，在我看来和楼上邱志红君所提属于同一类。现在，我的小书已经挂出，这些质疑原则上在那本小书中已有答案。但我仍然乐于在此回答邱君的第一个问题：“只有一个中心块发生变化，没有其他的中心块与之发生相反的变化”。
前此我在不同的帖子多次声明，我所研究的并不包括中心块的方向而且只限于三阶。也许这是一种不全面的研究，但却是可以允许的。在不考虑中心块方向时，我的小书并无理论漏洞且是较为严格公理化的。因为，我们完全可以不管中心块而只还原边角块；同样也可以不管边角块而只还原中心块。简言之，可以把二者看作两个不同的子系统。而我所研究的只是其中之一。
至于第二个问题，说来话长，靠一则帖文不好回答，邱君如果有兴趣，尽可以阅读原书。
至于邱君的帖子，我读了一遍，初步的印象是，你是完全从基础群论出发的，这是一条正路，就我所知，这也许是唯一的魔方理论研究的康庄之路。人们可以发现、罗列很多魔方现象，利用群论却可以给出优美的理论解释。如果读了我的小书，你可能会发现，我的书貌似“通俗”、“初等”，其实却偷用了群论的方法——事实上，阐述跷跷板原理时，我所使用的数学工具正是交代群。
我只是一个语文教师，而你是数学科班，二者之差肯定不可以道里计。故而以上所说恐怕难免献丑。
[em01]
写完了25楼的帖子后，又择要看了一遍邱君的“几个根基东西的证明”。现凭感觉简要说说邱君的理论与我的理论在本质上的异同。
1．邱的理论从群论的大门口出发，回归魔方；我的理论是从魔方实验着手，进入群论。
2．两种理论在我看来并无矛盾。从纯理论的角度看，跷跷板原理说的是：（i）魔方的初始状态是偶排列（我更喜欢用“置换”而不是“排列”）；（ii）魔方对称的机械结构保证了任意一个转动仍然使魔方保持着偶排列。——我想，魔方的奥秘仅此而已，岂有它哉！
3．在讨论角块的扭转（即所谓“色向问题”）时，邱的理论可能会遇到阅读者理解的麻烦。我敢断言，能够有耐心读完读懂那一大篇论述的人不会很多。（乌木先生有此耐心，令人敬佩）。相比而言，在这一块，邱的理论也许更为“初等”，但其可读性未必超过我的小书。“初等”是需要我辈追求的，但“初等”的烦难却也不易绕过。这一点我倒很佩服邱君，我的数学素养还不足以写出这样初等的东西——我曾经尝试过。把深奥的东西初等化，差不多是“治大国若烹小鲜”那样神化的境界了。
“可以与惠施对话，则可以与庄周论道”——
一看到邱君的帖子，内心就有一种窃喜：终于，“吾得其质矣！”邱君以为何如？
[此贴子已经被作者于2006-11-25 9:24:08编辑过]
此态如何用翘翘板公理解释？
此外，您的书最好能在论坛内邮购，何时出版？
噢，大概可以这样解释：有角A之态，必使（任选的）角B逆翻120°；有角C之态，必使角B再逆转120°。好，角B两次逆转120°就等于一次顺转120°。综合的结果就是角A、B、C各自顺转了120°。
是这样解释吗？
[此贴子已经被作者于2006-11-25 11:59:08编辑过]
附件: Xbefo9nu.jpg (2006-11-25 11:59:03, 12.51 KB) / 下载次数 111写完了25楼的帖子后，又择要看了一遍邱君的“几个根基东西的证明”。现凭感觉简要说说邱君的理论与我的理论在本质上的异同。
写完了25楼的帖子后，又择要看了一遍邱君的“几个根基东西的证明”。现凭感觉简要说说邱君的理论与我的理论在本质上的异同。1．邱的理论从群论的大门口出发，回归魔方；我的理论是从魔方实验着手，进入群论。
2．两种理论在我看来并无矛盾。从纯理论的角度看，跷跷板原理说的是：（i）魔方的初始状态是偶排列（我更喜欢用“置换”而不是“排列”）；（ii）魔方对称的机械结构保证了任意一个转动仍然使魔方保持着偶排列。——我想，魔方的奥秘仅此而已，岂有它哉！
3．在讨论角块的扭转（即所谓“色向问题”）时，邱的理论可能会遇到阅读者理解的麻烦。我敢断言，能够有耐心读完读懂那一大篇论述的人不会很多。（乌木先生有此耐心，令人敬佩）。相比而言，在这一块，邱的理论也许更为“初等”，但其可读性未必超过我的小书。“初等”是需要我辈追求的，但“初等”的烦难却也不易绕过。这一点我倒很佩服邱君，我的数学素养还不足以写出这样初等的东西——我曾经尝试过。把深奥的东西初等化，差不多是“治大国若烹小鲜”那样神化的境界了。
“可以与惠施对话，则可以与庄周论道”——
一看到邱君的帖子，内心就有一种窃喜：终于，“吾得其质矣！”邱君以为何如？
“可以与惠施对话，则可以与庄周论道”——
一看到邱君的帖子，内心就有一种窃喜：终于，“吾得其质矣！”邱君以为何如？
第2点，我把中心块的变化加入其中。得到更一般的定理了。就是：
三阶魔方各簇位置状态的排列的奇偶性保持一致。
第3点，与你说的相反，扭转只是感性认识得到的表象。色块的旋转替换才是根本，用自然数来体现它在简单通俗不过了。
很现实的一点：现在绝大部分人对扭转的认识还停留在原地扭转的程度。还有很多人对于最简单的动作：复原状态的魔方的一个表层转动90度 还没有认识清楚。要么认为四角色向没有变，要么就认为此时不存在色向问题。 其实给魔方标上数字，对块进行编码，得到一个数字排列。再加上一个“逆位”的定义，最终得到一个简单完美的结果：有色向的簇它们各簇在变化的时候，保持逆位数为“0”。
干净利落，不打修正补丁。
最后，打个比方：计算机的发明总不用只用来算“1+1=2”吧。我的理论的建立自然也不是为了解决三阶魔方的状态问题，而是一般魔方的状态及相关问题。
另外，我的文章是单调枯燥了，因为我不是专学语文的，很难使单调的理论生动活泼起来。类似增加语言表达能力等文学方面的技巧，我是极不擅长的。我一写出来就是数字符号，定义定理，定义是否合理，定理是否严格等。见谅
回复28楼乌木——
理解方向正确。详见原书：http://www.mf8.com.cn/Article/ShowArticle.asp?ArticleID=31
如果您需要WORD文本，请发短信至：rongduo388@sina.com
[此贴子已经被作者于2006-11-25 14:36:56编辑过]
回复29楼邱志红——
一、从你的回复看，我是否可以理解为：你至少部分地同意了我的意见（譬如我前面帖子的第1条）？
二、你强调你的理论包含了中心块和高阶魔方，而我的却不包含，故而你的理论适用范围更广，对此我过去和现在都没有异议。坦率地说，我没有玩过四阶及其以上的魔方，近期也没有时间去玩这类魔方。
三、你说：“扭转只是感性认识得到的表象。色块的旋转替换才是根本”。我没看出为什么一个是表象，一个是根本。不过这也不要紧，如果读了我的《魔方组合原理》，你会看到，我正是用“旋转替换”（我把它叫做“置换”）来定义扭转的。
四、你说：
“很现实的一点：现在对扭转的认识还停留在原地扭转的程度。还有很多人对于最简单的动作：复原状态的魔方的一个表层转动90度 还没有认识清楚。要么认为四角色向没有变，要么就认为此时不存在色向问题。”
这里的“绝大部分人”自然也指着我。这些人连“复原状态的魔方的一个表层转动90度 还没有认识清楚”，有什么资格侈谈魔方？
对此我要说，如果确实不能解释“复原状态的魔方的一个表层转动90度”，那么谈魔方原理就在开玩笑。至于我能不能解释，看看《魔方组合原理》就知道了。
此外，我并不认为“不存在色向问题”，我只是喜欢把它叫做扭转而已。这一点你是误会了。
回rongduo兄，http://www.mf8.com.cn/Article/ShowArticle.asp?ArticleID=31打不开，“剥”到下图为止，具体内容剥不出来了。不知是我的机子有问题还是网页有问题。您那里打得开吗？
[此贴子已经被作者于2006-11-25 18:26:36编辑过]
附件: VCyj2tNz.jpg (2006-11-25 17:40:34, 52.96 KB) / 下载次数 127我这里能打开。看来你所在的那一块网络可能有问题。
刚才有一点时间，先看了第一章。提两条意见，供修改时参考。
“二、术语记号
以后我们将用上面括号中的字母去代替括号前面的字（每一个字母分别是前面那个字拼音的第一个字母）。上平面是在开解前任意选定的，选定后在整个开解过程中必须保持不变，从而下平面也将保持不变。前平面根据被打乱魔方的图案在四个竖直面中临时选定，而在开解中又常常须要改选新的前平面，所以它可以是四种颜色之一。每选定或改选一次前平面，左平面、右平面和后平面也就随之而定。”
“拼音”，应为英文；
“上平面……必须保持不变”，您的下文还未看，先对此说说，可能不合你文。
对不少复原法，复原好向上的第一层后，是把第三层变为向上的，接着复原第二层和第三层。转动这第三层也叫 U 等，因为它处于顶层了，不再叫它为“D”了。
此外，有的程序中，（例如）右层多次在更新－－比如，先是绿色中心块向右，后来白色中心块向右，后来蓝向右，后来黄向右（此即文章说的“改选新平面”）。但是，程序中转它们的代号都是 R 。总之，U 等代号不固定从属于某一层，是“与时俱进”的，只要整个魔方不要额外翻滚。
[此贴子已经被作者于2006-11-25 22:27:30编辑过]
“ L+ R- F- D2，其逆程序为：D2 F+ L+ R-”，有笔误。
其逆程序应为 D2 F+ R+ L- 。
网页上多有错误，请乌木先生给出邮箱地址，我给你寄来WORD文本。
其实我现在没有多少时间来玩魔方或上网，即使在双休日空闲的时间也不很多。
第二章
“3.如果所寻的边块在下平面，可以适当转动（有时不需要转动）下平面，使该边块位于前下。这时进行观察（而不是立即转动），看是否可以将前平面转动 180°而使这一边块既归位又定向。如果可以，那么转动 180°以后问题就得到了解决。如果察知转动 180°以后还不能定向，可改作如下的转动（注意，此时所论的那个边块还位于前下）：q- U- R+ U+。”
最后应为：F- U- R+ U+ 。
rongduo 的论文一年多以前就看过了，结构/论述完整，rongduo是一位认真严谨的魔友，对三阶的性质做了很有特色的完整描述。小邱最近用数学归纳法证明了包括rongduo在内一些魔友的论文中的一些总结，对大家熟知的一些性质从数学上站住脚做出了贡献，二位都是非常优秀的魔友，老夫学习了。
第四章（开解法证明（II））看完第二点（扭转代数）。看来我的观念得变变。
“一个方块的状态S0是相对于某一静止时刻而言的。对S0施行一个动态的变换S1（通过某些转动）后，S0变成另一状态S2。这一过程可用加法表示为：
S0 + S1= S2 ”
“状态”和“动态的变换”都用符号S来表示，S0和S2仅涉及一个块，S1涉及八个块(暂不计中心块)。我得跟上，努力接受。
“一个扭转变换，顺时针时记其状态值记为 R，逆时针时记其状态值为记为 -R。”
“记一扭转（可以是顺时针、逆时针或零扭转）的值为X（X 可以是 R，-R 或 φ）。”
R、-R先是状态值，后又是（动作）扭转的值，我得尽量接受。
“ ∵ -R + R + φ = φ + φ = φ
-R -(R - φ) = -R + R = φ
∴ -R + R + φ = -R + (R + φ)”
是否应为：
∵ -R + R + φ = φ + φ = φ
-R +(R +φ) = -R + R = φ
∴ -R + R + φ = -R + (R + φ)
回41楼——
乌木先生真是有心人！
网页上出现错误的主要原因之一，是按cube_master的建议，把表示转动的符号统一改为通用符号，这样就导致全书符号系统的变动，出现了一批错乱；另一个原因是，当WORD转换为网页时，一些格式如上下标、特殊符号、分式、段落格式等等，或失效，或变得莫明其妙。故而网页是很不好读的。
你所引的那些语段中，所有的R其实都应是S，这样就稍微顺畅一些。
又你以为：“S1涉及八个块(暂不计中心块)”，这并不合我的原意，事实上S1也应只涉及一个块，它并不是某些转动。请注意我的原话：
“对S0施行一个动态的变换S1（通过某些转动）”——这里把变换与转动作了明确的区分。
明天起我要上班，恐怕很难有时间上网了。祝乌木先生一周愉快！
您忙您的。我是听说这是可以不用群论来解释魔方的文章，才感兴趣的。那些涉及群论的书我无福享用。
“A（B）……”可以理解为A即B，B是同位语；也可以理解为B是A的某种补语。您是取后一种意义。这类歧义文字常常出事情，还好这里不是打官司。现在已解开了这一点。 但是，
“状态S0＋动态变换S1＝状态S2”，读来总有点别扭，为何不改为（例如）：
“状态S1＋动态变换p＝状态S2” 呢？我得想想。
[此贴子已经被作者于2006-11-26 21:33:52编辑过]
下面第一个表中好像还轮不到最后两个元素变动吧？
附件: [魔方公理] S2A8XhgX.jpg (2006-11-26 22:03:49, 39.71 KB) / 下载次数 121第五章第三点说：
“ 此外，从逻辑上说，四个未归位方块还应有三种轮换的形式：顺时针相邻的轮换，逆时针相邻的轮换，“8”字轮换（参见第三章（二）），但无论哪种形式，依据置换代数，由四个方块构成的一个轮换总可以化归为三个对换的和，故而这三种图案的状态和皆为：
∑ = C + C + C = φ + C = C ≠φ
这与跷跷板原理不符，故而在所论的开解时刻（其它时刻未必），魔方的四个下边块不会呈现轮换图案。”
说得好。也就是说，这个复原方法中，第三层四个角块已经复原，此时，第三层的四个棱块就不可能出现四轮换状态，否则，不是前面没有真正复原，就是魔方被错装或错贴过。
[此贴子已经被作者于2006-11-26 23:35:59编辑过]
第六章表2中是否要在两处添加“或后”？
附件: [魔方公理] ALPxMoQG.jpg (2006-11-27 17:56:21, 27.07 KB) / 下载次数 108第六章说：
“把一个正常的魔方拆散后随意组装，不管在组装过程中发生了多少组装错误，组装完成后总可以使这些错误化归为不超过三个方块的错误。
【说明】定理中所说的化归后的错误只能是如下 11 类错误中的一类：
当其它所有方块都正确时——
(i) 一个下角块顺时针扭转；
(ii) 一个下角块逆时针扭转；
(iii) 一个下边块翻转；
(iv) 两个下边块对换；
(v) 一个下边块翻转且它同时与另一个下边块对换；
(vi) (i) 和 (iii) 的组合；
(vii) (ii) 和 (iii) 的组合；
(viii) (i) 和 (iv) 的组合；
(ix) (ii) 和 (iv) 组合；
(x) (i) 和 (v) 的组合；
(xi) (ii) 和 (v) 的组合。
以上 11 类错误再加上正确的一类，正好对应于所谓的魔方组装的 12 个族。”
这些玩意儿，我掌握不全。但拿到一个3×3×3立方体魔方，好像凡是最后出现仅仅要求任何两个角块要求对换，也是非法的，即该魔方一定是错装了的。
是不是？是的话，您上面所说的怎么没有这一条呢？
我觉得，这个地方如果遗漏了什么错装态的话，对以后计算组装态总数以及其中的合法态数有莫大影响的。即，要么答案不对；要么答案碰巧对但是过程有错。
[此贴子已经被作者于2006-11-28 21:42:32编辑过]
第六章最后一句话：
“[注] 有时候，下边块至此尚未完全归位，这时可以运用第二章（五）（乙）所给的开解法使之完全归位。在第二章已知这并不影响下角块的既有状态。 ”
我在此说一下“注的注”：该注仅适用于此教程的复原步骤，即，最后的调边不影响角块。但在别的复原套路中就不一定的。例如，有的方法第三层先调边，再调角，再翻边（或翻角），最后翻角（或翻边），那么，不能套用此注。
至于邱君的帖子，我读了一遍，初步的印象是，你是完全从基础群论出发的，这是一条正路，就我所知，这也许是唯一的魔方理论研究的康庄之路。人们可以发现、罗列很多魔方现象，利用群论却可以给出优美的理论解释。如果读了我的小书，你可能会发现，我的书貌似“通俗”、“初等”，其实却偷用了群论的方法——事实上，阐述跷跷板原理时，我所使用的数学工具正是交代群。[em01]
看得出，你用了群论的方法。但我却没有，这我更清楚
我用的是《高等代数》里的排列，《高等代数》里的排列是什么呢？我具体地介绍一下：《高等代数》里的排列只是为了确定 行列式每项前面的正负符号 而引入的一个概念。纵览我四年学习的数学专业课程，再也没有发现《高等代数》里的排列有其他任何应用，更不用说与群论的关系了。
而且从我的论述过程可以看出我都是用自然数来描述和论证的，其间也用到符号，但符号也是代表自然数的。甚至连函数，方程等都没有用，应该是够初等的了，妇孺皆懂了
现在我澄清这些东西是为了以正视听，消除大家对我的帖子那种敬而远之的心理。我的口号：
玩转魔方的状态，我能，你也能
[此贴子已经被作者于2006-11-28 12:23:56编辑过]
错发
[此贴子已经被作者于2006-11-28 18:07:24编辑过]
仅仅是为了表达魔方的性质，我认为基本的初中知识都足够了，我所发表的拙作中，甚至对N阶魔方性质的表达也见不到高等数学的影子，对于魔方的极品问题最小步数，也看不出群论有什么突出的表现，虽然很多高人包括一些院士在表达魔方性质及变换时，或多或少借用了群论工具，但结果并不理想，甚至表达不清魔方的基本性质。
适当的时候，将要发表本人解决最小步数（求取任意二状态的最短公式）的研究结果及相关算法，从中不难发现，解决此问题的方法是如此简单和出人预料。工具固然重要，也要看用来解决什么问题，复杂/高深不等于适用。一些正式出版/名人作序的魔方书籍使用的工具不可谓不华丽，但二百页用来描述三阶如何复原，二百页用来记录复原程序，却被人评为九十年以前的水平。坐飞机打渔是什么效果？哈哈哈
关键在于自已读懂了魔方多少，只有感悟了最本质的问题，才谈到上对工具的正确选择，才能避免以往某些不着边际/目标不明/高深莫测/无人能懂却什么问题也解决不了的所谓理论的毒害，须知，无论搞出什么样的理论，有无数象大烟头、乌木这样严谨的人在免费为你测试，所以出世以前自已多加小心，随随便便丢出一个所谓的理论，最后搞的自已无法下台/百口难辩，已有实例在先，指导别人固然很爽，误导别人恐怕也很爽，哈哈哈。搞理论的人，大家都要非常小心并拥有一种道义和责任感，以前我也出过错，被大烟头和乌木纠出来数次，改吧，还有什么办法？去学一些人弄块遮羞布和将头插入沙中？哈哈哈
[此贴子已经被作者于2006-11-28 18:25:33编辑过]
第七章中这是笔误吧：
附件: [魔方公理] tvASdrgZ.jpg (2006-11-28 20:22:39, 32.5 KB) / 下载次数 126第七章中有三个式子直接弄到教程页面上后有点乱了，它们是：
刚看完第八章之二，性急，先问问：
第八章说，在跷跷板原理的支配下，魔方上 8 个角块的方向组合数为2187，又说，符合跷跷板原理的角块置换组合数合计为20160。
那么，2187×20160＝44089920 是否就是三阶、角块的花样总数？其中有无重复？我脑子不够用了。
pengw、黑王子等算出二阶魔方的状态总数为3674160 。
如果把三阶的角块当作二阶魔方（可以吗？有异同吗？），那么，如何解释下面的关系：
3674160×12＝44089920 。
[此贴子已经被作者于2006-11-29 15:14:51编辑过]
48楼我说：“……好像凡是最后出现仅仅要求任何两个角块要求对换，也是非法的，即该魔方一定是错装了的。是不是？是的话，您上面所说的怎么没有这一条呢？我觉得，这个地方如果遗漏了什么错装态的话，对以后计算组装态总数以及其中的合法态数有莫大影响的。即，要么答案不对；要么答案碰巧对但是过程有错。”
刚才看了第八章，原来您计算不合翘翘板原理的角块置换组合数是算总帐的，即文中说的
“单独看角块，其不符合跷板原理的置换组合数为：
8! - 20160 = 20160 ”
再加上您的计算大方案是“① × ② + ③”， 那就不影响最后结果4.3×10^19 了，与前面讨论错装态时遗漏不遗漏什么态就无关了。
顺便问问，如果不计“后果”（即不管能否六面复原）地组装3阶魔方的角和棱，则状态总数为
8！×3^8×12！×2^12＝5.2×10^20 ＝12×4.3×10^19。这里的12倍我下面的解释对不对？
这12倍应该是3×2×2；在算“合法态”时，一，不用3^8，要用3^7作为合法角向总数；二，不用2^12，要用2^11作为合法棱向总数；三，不用8!×12！，要用8!×12！/ 2 作为角和棱的合法排位总数。这样就解释了12倍的问题。
原来，在魔方世界里，“好人”少，“坏人”多哪！
[此贴子已经被作者于2006-11-30 11:17:32编辑过]
57楼说的“8!×12！/ 2”，细说起来是否这样：
排角：a＝8！/2 合法（即符合翘翘板原理），b＝8！/2非法；
排棱：c＝12！/2合法，d＝12！/2非法；
组合：a×c＝8！×12！/4合法；b×d＝8！×12！/4 也是合法！（a×d和c×b是非法的！）
所以，排角排棱的合法组合总数就是2×8！×12！/4＝8！×12！/2 。
靠组装来计算状态数的条件是：
清楚什么样的状态是合法与不合法，低阶魔方可以手工试出来，高阶无此可能。不合法的状态可以简单归纳为三种情：
1。非法色向
2。非法扰动
3。前面二条的组合
这些依据N阶定律中簇内/簇间变换，可以从一个很一般的角度来确定，以下是一篇关于组装状态分析的文章：
http://bbs.mf8-china.com/dispbbs.asp?boardID=15&ID=886&page=1
只高度本质的理解，才有高度精简的表达，看了一些文章，感觉还是在五彩纷乱的表象中挣扎。我喜欢对玩魔方的朋友说一句话：生命有限，不要去跟组合数斗气，只须弄懂组合法则。
[此贴子已经被作者于2006-11-30 12:20:59编辑过]
魔方吧主页－－魔方教室－－魔方理论－－rongduo兄的“魔方组合原理”终于啃完了。
味道好极了！
有了这“原理”垫底，今后再读理论区冬兄的几篇文章应该会又有收获的。
刚看完第八章之二，性急，先问问：
第八章说，在跷跷板原理的支配下，魔方上 8 个角块的方向组合数为2187，又说，符合跷跷板原理的角块置换组合数合计为20160。
那么，2187×20160＝44089920 是否就是三阶、角块的花样总数？其中有无重复？我脑子不够用了。
pengw、黑王子等算出二阶魔方的状态总数为3674160 。
如果把三阶的角块当作二阶魔方（可以吗？有异同吗？），那么，如何解释下面的关系：
3674160×12＝44089920 。
显然，计算有问题，绝色三阶从组装角度，有11种错误，外加一种合法的，总共12，三阶组装状态总数除12，就是纯色魔方状态总数.
二阶组装总态：24*21*18...*3=3^8*8!=264539520（未消同态）
二阶合法总态：24*21*18...*6=3^7*8!=88179840（未消同态）
二阶所有组装类型数：264539520/3674160=3
二阶非法组装类型数：3-1=2
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为什么计算值44089920会比我的计算值88179840小一半？答案很简单，没有乖上扰动关系数（2n阶=2^n,二阶为2)，这说明扰动关系的角色仍然没有引起必要的重视，rongduo的数据没有考虑扰动关系作用。要想计算高阶魔方状态数,忽略扰动关系数是不可能的.
[此贴子已经被作者于2006-12-1 21:28:53编辑过]
解决最小步数的一般性方法已搞定,只是不知道该不该发,好象这事不该由我来做,虽然已经做完.还是等专业人士先发,再等二个月吧.
黑王子（G），一直诋毁扰动关系是什么“搔动关系”，不过他的计算结果也是正确的，却看不到他的计算原理及如何处理同态，莫非是猜出来的结果？哈哈哈，玩笑。
大烟头说话可得有根据哦，不要学习一些绕圈瞎转猜想专家糊弄别人嘛，况且你还花了很大力气将俺的“搔动关系”改写成了大烟头版的“搔动关系”，不会是跟坏人学坏人吧？哈哈哈，适当的时候，本人还要发表基于“最短步数导论”的最短步数算法，没时间编程，你觉这里哪位是编程高手？黑王子如何？俺觉的“名不正言”不顺，不想班门弄斧，哈哈哈。
[此贴子已经被作者于2006-12-2 11:17:38编辑过]
61楼说：“二阶合法总态：24*21*18...*6=3^7*8!=88179840（未消同态）”
那么，消同态后就是88179840 / 24 ＝3674160，就是二阶魔方的状态总数了。对吗？
此外，上面等号左边写全了的话，应该是 24×21×18×15×12×9×6，对吗？这样，我就没问题了。最好是24×21×18×15×12×9×6×1，更确切了。以前我看到您的文章中写成
“边角块簇状态数:A=24*21*18*15*12*9*3”，
就令我费解了。（也许现在已更正，我现在也不必去查看了。）
所有簇的簇内状态数之积乖上扰动关系，再消同态（如果是偶阶），是基于N阶定律的状态数算法。
对二阶：
n>=1,2n=2,n=1
扰动关系数：2^n=2
边角块簇簇内状态数=24×21×18×15×12×9×3=3^7*8!/2
二阶状态数=边角块簇簇内状态数*扰动关系数=3^7*(8!/2)*2=3^7*8!=88179840
消同态:88179840/24=3674160
-------------------------------
用手工组装计算的全组合数除以魔方错误组装数加1（二阶为3，三阶全色为24，三阶纯色为12）的方法计算合法状态数（这也是rongduo计算的核心方法）只适合计算低阶魔方状态数，高阶魔方很难计算出魔方组装错误数，因此，掌握扰动关系对正确计算魔方状态是非常重要的，事实上基于N阶定律的计算方法非常简单，掌握状态定律，你可以随意给出一个合法状态，而不须要公式来告诉你，就这么简单。
也看到其它一些计算公式和结论，遗憾的是，没有原理表达，很难令人信服，因为公式等价变形并不是什么高难技术。
[此贴子已经被作者于2006-12-2 16:37:46编辑过]
至于邱君的帖子，我读了一遍，初步的印象是，你是完全从基础群论出发的，这是一条正路，就我所知，这也许是唯一的魔方理论研究的康庄之路。人们可以发现、罗列很多魔方现象，利用群论却可以给出优美的理论解释。如果读了我的小书，你可能会发现，我的书貌似“通俗”、“初等”，其实却偷用了群论的方法——事实上，阐述跷跷板原理时，我所使用的数学工具正是交代群。[em01]
看得出，你用了群论的方法。但我却没有，这我更清楚
我用的是《高等代数》里的排列，《高等代数》里的排列是什么呢？我具体地介绍一下：《高等代数》里的排列只是为了确定 行列式每项前面的正负符号 而引入的一个概念。纵览我四年学习的数学专业课程，再也没有发现《高等代数》里的排列有其他任何应用，更不用说与群论的关系了。
而且从我的论述过程可以看出我都是用自然数来描述和论证的，其间也用到符号，但符号也是代表自然数的。甚至连函数，方程等都没有用，应该是够初等的了，妇孺皆懂了
现在我澄清这些东西是为了以正视听，消除大家对我的帖子那种敬而远之的心理。我的口号：
玩转魔方的状态，我能，你也能
邱君特意申明你的理论只用到排列论，而没用到群论，如果真是这样，那只能算我猜错了。这，需要倒歉吗？如果你大度说一声：没关系！那么我将非常感动。不过，还要请看我下边的两点说明。
第一，也许，你是在线性代数课程中接触到排列论，而我却正是在群论的知识体系中了解到排列的奇偶性理论。在科学上造假的，一般都是科学的行家。我不是行家，所有还没有水平、也没有胆量去造假或撒谎。如果你认为我故意胡拉乱扯，用群论高攀排列论，那么，就请去看一看北京大学数学力学系编写的《高等代数》第十章§1（人民教育出版社1978年3月第一版）。在那里，引用了排列论来讨论变换群问题。而我正是从那里第一次得知数学中还有一个知识点叫作排列的奇偶性理论。
第二，你在声明的结尾说：“现在我澄清这些东西是为了以正视听，消除大家对我的帖子那种敬而远之的心理。”这好象是说，我诬陷你的理论为群论，居心不良，其心可诛！我认为，你太敏感了。我们讨论的只是一种玩具，并不是在玩俄罗斯轮盘赌。讨论中错误、误会或许有之，但犯得着戒心重重吗？更何况，群论只是一个科学名词，我用它来诬陷、设局，除了证明我的脑子有水以外，什么实际效果也不会有的。不是吗？
rongduo兄息恕，当今能遇上几位真心诚意浪费时间研究魔方的朋友实属难得，更何况是魔方理论。小邱仍血气方刚、进取有为、有志于魔方的在校大学生，言语之间锋芒徒显，表达略有激进，我认为跟他年龄有关，未必有什么恶意，我们都有过那个岁月，所以你就大人大量，多多包涵。小邱也要注意，遣词用句多多温惋为盼，哈哈哈。
玩魔方本来就不是一件容易的事，思考魔方理论，就更不容易了，费时/费力/费神，没有收益，只有付出。大家各舒已见，各有所长，各有所短，敢于坚持正确的，也勇于承认被证明是错误的，我一直非常欣赏别人怀疑、挑战、证伪我的“作品”，这常常能够帮助我前进很大一步，如果不是大烟头拿还猪公式计算结果与我的“作品”进行比对，从根本上我就忽略了24同态及纯色因子问题。05年春节前，我以为N阶魔方的性质只是三阶的简单扩展，甚至都发表了论文，大烟头用四阶二棱块对换嬉笑本人，让我惊出一身冷汗，立即意识到自已完全错了，当即拆掉论文，整个春节都在苦苦思索，最终写出N阶定律，这种事例很多，我挺喜欢别人的质疑，那怕是恶意但结果是正确的，都可以接受，除了一些恶意的不着边际的弱智攻击，我也时常质疑别人的理论，可能还弄的一些人很不爽，对就是对，错就是错。反正，总是在别人的挑战中前进，即所谓真金不怕火炼。希望能与各位精诚合作，将我们的爱好，也许可能称为事业，推向前进，从中享用更多的惊喜与愉快。
[此贴子已经被作者于2006-12-2 21:33:25编辑过]
可能你说的排列与我说的排列不一样。排列的含义现在太多了
计算机程序设计里有一个排列论与通用散列法，你说的是一种排列，我说的可能是另外一种排列，还有计算排列组合数时又有一个排列，现在不是还有“排列3，排列5”吗等等
另外我学的《高等代数》也与你说的不同，我学的《高等代数》不含群论。我学的群论是《近世代数》里的，而里面没有排列论。我学的《高等代数》里的排列只是排列，没有上升到排列论。
我们的知识体系不同，导致误会了，我很抱歉
67楼说：“边角块簇簇内状态数=24×21×18×15×12×9×3”
是不是这么来的：
角1取位可能数 8，取向可能数3， 8×3＝24；
角2 取位可能数 7，取向可能数 3， 7×3＝21；
角3取位可能数 6，取向可能数 3， 6×3＝18；
角4 取位可能数 5，取向可能数 3， 5×3＝15；
角5 取位可能数 4，取向可能数 3， 4×3＝12；
角6取位可能数 3，取向可能数 3， 3×3＝ 9；
角7 取位可能数 1，取向可能数 3， 1×3＝ 3；
角8 取位可能数 1，取向可能数 1， 1×1＝ 1。
组合：24×21×18×15×12×9×3（×1）。
如果这样理解是对的，那么我66楼的话就不对了。我在两处都是凑答案的：看到最后是×6，我就理解为角7取位数为2；看到最后是×3，我就理解为角7取位数为1；而那个×6只是已经乘上两倍后的结果，跳过了乘两倍之前的、最后的×3，两步并作一步走啊，我却看不出来。
角7究竟取位可能数是2还是1？今天看了67楼的最新说法，我得设法理解角7取位可能数只有1，尽管轮到角7取位时尚有两个空位。这应该是由于受制于魔方定律吧？我还搞不大明白。角8最倒霉，毫无自主权，1×1＝1，别无选择，这倒可以理解。
接着还要×2 / 24，才获得3674160：
24×21×18×15×12×9×3（×1）×2 / 24＝3674160。
“难得，难得。”先凑对了再说，对“×2 / 24”再慢慢琢磨。
[此贴子已经被作者于2006-12-3 0:27:54编辑过]
所谓簇内变换产生的状态是指用三交换、色向变换能够在一个簇内产生的所有状态，当角块进行到第七步时：
余下的二个角块是不可能交换位置了，第七个角块一但选定色向（有三种可能性，见色向变换法则），第八个角块就没的选择了，第七个角块完全决定了第八个角块的色向状态。
所以算式最后是*6*3
结果乖2跟扰动关系数有关，除24跟偶阶同态问题有关，详见“基于N阶定律的状态数计算方法”一文
我的计算方法是为了兼顾N阶魔方而制定的，就单簇计算而言，如二阶，根本无须考虑扰动关系（考虑也是正确的），二阶任意二个块可以交换位置，第七位是6,第8位仍然没的选了，如果是这样，算式应该是：
（24*21*18*15*12*9*6）/24
显然与考虑扰动关系的计算方法等价，这种方法仅仅对单簇魔方有效，本质上，中心块簇以外的任何簇的状态数匀可照此原理计算，但综合成魔方状态就存在一个问题，不同簇的状态是不可以随意搭配，如何搭配才是合法的？这是N阶定律扰动关系解决的一个问题，即将魔方变换分为簇内变换与簇间变换二种，用簇内变换计算各簇状态数再乖上簇与簇状态的搭配关系数，一切OK。也许我又说复杂了，没办法，这些都是魔方固有的性质，有些人可能不喜欢我的表达方式，我的理解是：中国与CHINA有什么区别？难到说的不是一回事？
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另外在此特别声明一下，我的最小步数论文被我自已举出反证了，抱歉，对大家说大话了，我还在努力。
[此贴子已经被作者于2006-12-3 9:42:10编辑过]
（24*21*18*15*12*9*6）/24”
原来如此，冬兄是用“三交换”求状态数，角7的状态数一般N阶为1×3；对于二阶，为2×3。所以我看到的二阶时×6或×3都对，区别在于接下来不乘两倍或乘两倍。
我读冬兄文章时，没有也不会用“三交换”思考，而是用一般的排列组合概念－－逐个地、任取一个角块去“占位”，到第7角块时要受制于魔方定律。但具体排第7个角块时，我就糊涂了－－空位置还有两个，老七的“选位权”是1还是2呢？看到冬兄的算式最后是×3，我就以为老七的选位数是1；看到×6，就以为是2。也就是说，我还不会运用魔方定律，也即跟不上冬兄的思路（这怪我，与您无关）。往往为弄清一个点滴小问题，就要多次烦您不少精力。所以上面我说“难得，难得”。
而rongduo兄的“魔方组合原理”，对我来说，啃起来基本很顺畅。
魔方组合原理中的计算方法，严格地讲是一种手工而非基于变换性质的计算，即手工组装计算全组合数，再除以手工发现的错误数+1，到三阶为止。如果不熟悉魔方定律，三阶以上恐很难算出。如果仅仅是玩玩三阶，只须懂的：
1。晋通的全组合知识：用于计算手工组装状态
2。还原魔方的方法：用于识别非法状态
凭以上二点即可算出三阶的合法状态数，无须知道更多，但要计算四阶、五阶恐怕很难，乌兄可以用组合原理试算一下四阶或五阶，并表达清楚原理，从中可以体会扰动的作用。
一个称之为状态描述的理论一定可以自足（无手工组装介入）地预言所有状态， 如果这个理论存在缺陷，将导致状态数计算错误，不能解释的状态，无法预言公式循环周期。
另外，诚心提醒一点，仅凭手工组装方法是无法正确计算魔方状态数的，变换性质必须介入
[此贴子已经被作者于2006-12-3 11:52:53编辑过]
显然，计算有问题，绝色三阶从组装角度，有11种错误，外加一种合法的，总共12，三阶组装状态总数除12，就是纯色魔方状态总数.
二阶组装总态：24*21*18...*3=3^8*8!=264539520（未消同态）
二阶合法总态：24*21*18...*6=3^7*8!=88179840（未消同态）
二阶所有组装类型数：264539520/3674160=3
二阶非法组装类型数：3-1=2
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为什么计算值44089920会比我的计算值88179840小一半？答案很简单，没有乖上扰动关系数（2n阶=2^n,二阶为2)，这说明扰动关系的角色仍然没有引起必要的重视，rongduo的数据没有考虑扰动关系作用。要想计算高阶魔方状态数,忽略扰动关系数是不可能的.
在你所引用的乌木的帖子中，乌木性急了一点，未读完全书（虽然快要读完了），就开始猜测总组合数，这个自然难免出错。由于已经说明是猜测，我想，连乌木自己也不需要负什么责任。至于猜测之不妥，从后续的帖子看，乌木先生已经意识到了。
你我的论域和出发点差别很大，但完全可以和平共存。古贤曾谓“君子和而不同”，至哉斯言！
你的扰动概念是一个很好的、极具概括力的东西，在你的理论中占有重要位置。不过在我的系列中不需借重它。我是运用置换（或排列）的奇偶性质，来处理你所说的扰动问题的。
现在，是将这个主题帖子束之高阁的时候了——已经有了乌木兄一丝不苟的审读（那多有错乱的网页，实属难能！），而不同的意见也得到了很充分的发表。
感谢忍大师，时有勖勉，让我特感受用；而其批评也警醒着我，促我如履薄冰，审慎地对待自己的理论。
乌木兄执着于探寻魔方奥秘，其精神让我至感敬佩和亲切。由于他发帖甚多，我还不能全部细读（很遗憾，我只能在双休日上一上网）。但在将来修订拙作的时候，将以乌兄的帖子作为重要参考。
还要感谢邱志红君，是他将这个起始于两年之前的、已经尘封的主题重新翻检出来（连我自己都有隔世之感！），使得我再一次有机会与各路高手进行思想的交流和碰撞。这无论如何不是坏事。争议中语言或有冲撞，望邱君谅之！
[此贴子已经被作者于2006-12-3 14:51:11编辑过]
求大同存小异，很好很好，其实真的没的批评谁的意思，只是用我自已犯的错误举例，我常犯错，明知是不对的，还恶作剧式的逗着闹，大家都看过了，哈哈哈。看了rongduo上面的表述后，我居然在自已的文档中发现了一份已记不清是谁发给我“组合原理”WORD 文档，不错不错，我现在对rondguo的置换奇偶性很好奇。
对三阶：
奇环（或称为奇置换）：可以立存在的，不依赖任何其它变换，如何用跷跷板原理平衡？
偶环（或称为偶置换）：分二种情况
1。偶数个偶环可以独立存在
2。奇数个偶环不可以独立存在，对三阶而言，奇数个偶环必然同时存在于中棱块簇与边角块簇中，同时中心块簇的转量的绝对值之和是90的奇数倍，这个问题用扰动方程很好理解，但用跷跷板原理如何解释？
另外,rongduo在文中分解出的一系列置换类别（或称为环类别），匀可通过基本的三置换构造出来，三置换可以独立构造奇环，但只能成对独立构造偶环，如果发现一个簇的偶环数为奇数，显然三个簇相互发生挠动了，又如何用跷跷原理解释？
3。中心块独立转动180,跷跷板原理如何解释?
不过，跷跷板原理对解决中棱块，边角块的色向变换现象是没问题的。
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以上只是我的一些初浅的看法，也许对跷跷原理的理解的不够。
再对跷跷板原理计算三阶纯色魔方（不考虑中心块）的方式进行分析：
边角块状态数：24*21*18*15*12*9*3=3^7*8!/2
中棱块状态数：24*22*20*18*16*14*12*10*8*6*2=2^11*12!/2
边角块状态数*中棱块状态数=（3^7*8!/2）*（2^11*12!/2）
计算值是纯色魔方总状态数的一半，基于扰动关系的算法在此乖上了扰动关系数2，正好解决此问题，而跷跷板原理如何处理这种情况？基于什么原理？很想知道。有时，我觉得扰动关系让很多魔友困惑，也在寻求一种更简单的等效方法，显然，rongduo魔友计算出了正确答案，其中必有一种等效方法，但我没有看明白，rongduo魔友方便的话，能不能详细解释一下？
我看下来，那“魔方组合原理”第八章说，用的是① × ② + ③ 。
① × ②是，符合“翘翘板”的角态数与符合“翘翘板”的棱态数组合后的角棱态总数；
另，不合“翘翘板”的角态与不合“翘翘板”的棱态组合后的角棱态又符合“翘翘板”，
其总数③经分析数值上等于① × ②，
故① × ② + ③＝2 ×（ 20160 × 239500800 × 2187 × 2048）＝ 43252003274489856000 。
他还简单提了另两种算法：
据魔方定理什么的，得（8！×3^8×12！×2^12）/12 ；
据群论的奇偶置换什么的，得（8！×12！×3^7×2^11）/ 2 。
说错的话，请各位指正。
[此贴子已经被作者于2006-12-4 11:54:11编辑过]
我看下来，那“魔方组合原理”第八章说，用的是① × ② + ③ 。
① × ②是符合“翘翘板”的角棱态总数；
另，不合“翘翘板”的角态与不合“翘翘板”的棱态组合后的角棱态又符合“翘翘板”，
其总数③经分析数值上等于① × ②，
故① × ② + ③＝2 ×（ 20160 × 239500800 × 2187 × 2048）＝ 43252003274489856000 。
依据跷跷板原理：
中棱块和边角块各有一半的置还状态与另一半的状态对立平衡，计算也证实了这一点，依广义性：
中棱块置换的对立状态数：12！-12!/2 满足跷跷板原理
边角块置换的对立状态数：8!-8!/2 满足跷跷板原理
中棱块色向的对立状态数：2^12-2^11,依然为1/2， 满足跷跷板原理
边角块色向的对立状态数：3^8-3^7，变成2/3， 违背跷跷板原理
中心块色向的对立状态数：4^6-4^5,变成了3/4， 违背跷跷板原理
-------------------------------
照rongduo的计算原理，相互对立状态的总和等于魔方总状态，因此有：
20160 × 239500800 × 2187 × 2048+20160 × 239500800 ×（ 3^8-3^7）×（2^12-2^11）
显然计算结果是正确值的1.5倍,而rongduo的计算式违背了自已定义的计算原理。难到跷跷板原理只对位置置换起作用，对色向无效？以上问题，可能需要作者向大家作进一步的说明。
-------------------------------
在排掉二、三阶色向的前提下，可置换的簇状态各占一半的对立，是正确的，三阶的扰动方程也预言了这一点。其实任何可置换的簇都有这种各占一半的特性，即所谓的基态簇与扰动簇的关系。三阶有二种扰动关系，所以，要么全是基态簇，要么全是扰动簇，从这一点计算出魔方总状态，是可以的，但角块色向与中心块色向并不遵寻跷跷板原理，作者只是直接引用色向状态而非色向对立状态，显然与自已的计算原理违背，但结果碰巧是正确的
对于四阶，基态簇与扰动簇组合关系跟三阶完全不一样，共有四种搭配方式，很难用此消彼长的跷跷板来解释，而三阶上的角色向不满足跷跷板原理的问题，在四阶或以后N阶都存在。
[此贴子已经被作者于2006-12-4 18:21:01编辑过]
我78楼仅仅是对rong兄文章的初步理解。照冬兄79楼一说，我也觉得好像有问题了。我是没能耐说明什么的，必得rong来说的。而rong兄要双休日上网，我且把对冬兄79楼所提问题本身的理解及其他，叙述如下。
第8个角的取向数只有1，被“剥夺”数为2，因此，合法的角取向总数为3^7×1，非法的为3^7×2 。
而rong兄在计算那个“ ③”的数值时，先组合非法角置换和非法棱置换，得到“非非得合”的角棱置换态数（8！/2）×（12！/2）＝20160 × 239500800，然后考虑角和棱的取向－－但只用合法取向数3^7×2^11＝ 2187 × 2048，根本不理睬我这里上述的、非法的角取向数“3^7×2” 。所以 ，③就等于20160 × 239500800 × 2187 × 2048＝① × ② 了 。
可见，冬兄认为rong应该用“3^8-3^7＝3^7×2”来计算③；而rong没有用，用了“3^7”。
是不是分歧在此？
我模糊感到，用“3^8-3^7＝3^7×2”还是用“3^7”来计算③，涉及某种逻辑问题。好像是，如果用了“3^8-3^7＝3^7×2”的话，岂非又出现“不符合‘翘翘板’”状态了吗？仅是初步感觉，对排列、组合、逻辑之类的问题，我很怕。您看，我一会觉得rong算得对，一会觉得rong算得有问题，正说明我不懂。
这样争争应该可以弄清楚的吧。
乌兄看到关键点了，我还是那句话，跷跷板原理不适用于色向计算？理由是什么？那么应该在什么样的条件下有效？rongduo兄的计算式存在主观介入和修正的成份，偏离了跷跷板原理的指导。
乌兄说："模糊感还是应该选择3^7,2^11",理由是什么？用跷跷板原理如何解释？
可以证明，这一原理用在四阶或四阶以上，肯定是错误，当然rongduo兄早已申明，仅针对三阶纯色，不含中心块。我的观点是，不要用着色来期骗眼睛。[此贴子已经被作者于2006-12-4 18:34:01编辑过]
是不是这样分析：
（8！/2）个非法角排位态与（12！/2）个非法棱排位态组合后，得到（8！/2）×（12！/2）个合法角棱排位态，犹如“废物利用”，也必须“利用”；
但是没有哪个态，能够和（3^7×2）个非法角取向态中的任一个态，搭配产生合法态呀，所以，为何计算中要用（3^7×2）呢？用了反而坏事呀。这好比，魔方“生产”中，只能把属于（3^7×2）个非法角取向态的“半成品魔方”送去回炉（重装），不能用于装配的。
此外，大家讲合法的角取向态总数时，不说是3^8，也不说是3^7×2，而都说是3^7，这不正是服从合法魔方的定律吗？也就是说，“翘翘板”已经用于计算“角取向态总数”了嘛。
[此贴子已经被作者于2006-12-4 19:15:41编辑过]
是不是这样分析：
（8！/2）个非法角排位态与（12！/2）个非法棱排位态组合后，得到（8！/2）×（12！/2）个合法角棱排位态，犹如“废物利用”，也必须“利用”；
但是没有哪个态，能够和（3^7×2）个非法角取向态中的任一个态，搭配产生合法态呀，所以，为何计算中要用（3^7×2）呢？用了反而坏事呀。这好比，魔方“生产”中，只能把属于（3^7×2）个非法角取向态的“半成品魔方”送去回炉（重装），不能用于装配的。
此外，大家讲合法的角取向态总数时，不说是3^8，也不说是3^7×2，而都说是3^7，这不正是服从合法魔方的定律吗？也就是说，“翘翘板”已经用于计算“角取向态总数”了嘛。
从簇层面，8！和12！根本不存在什么非法状态，这个层面的所谓非法，是指不同簇之间的状态搭配存在非法，只可能产生于非法组装导致的扰动错误中，从这一点讲，跷跷板原理的基础就出问题了，如果将8!和12！这样的手工组装数据引入计算，无疑让手工介入了，而一个理论的自足性就被破坏了，从而理论被证明有缺陷。
一个根本性的反证，借用rongduo的数据，三阶纯色，魔方合法状态与非法状态的比例为11：1，这个跷跷板又如何平衡？是不是一端太重，另一端太轻？
[此贴子已经被作者于2006-12-4 20:10:35编辑过]
您说“从簇层面，8！和12！根本不存在什么非法状态……”，我一直以为它们分别都是一半合法，一半非法的呢，我得重新认识。此前我认为是：
是不是说，假如一批半成品魔方，棱块是装对了的，让我装角块的话，我有8！种排角位法，都可以交货？或者，假如一批半成品魔方，角块是装对了的，让我装棱块的话，我有12！种排棱位法，也都可以交货？（此处暂不论取向问题，即交出的货还是半成品，以后还要调整取向。）
显然不对。那么，一定是给我12！个装好了棱的魔方，这12！个棱态位置情况无一重复，我的8！个角态必须挑出符合某种定律的一半去配12！/2个符合定律的棱态；我手中另8！/2个不合定律的角态只能去配不合定律的12！/2个棱态。（此处，暂不考虑取向问题。此外，“配”指组合，即相乘，不是那种一个螺母配套一个螺钉的一一对应。）
也就是说，给我12！个棱位对而取向暂不论的半成品，我可以虚拟地放大（组合）出 12！×8！/4 + 12！×8！/4＝ 12！×8！/2个棱、角位置都正确的、取向暂未拨正确的魔方来。
区分角位置态或棱位置态为两部分是根据能否簇内复原位置。
今天，我的上述观念有问题了？我将不可能区分8！个态为两部分？也无法区分12！为两部分？
容我想想。
乌兄，我再重复一遍，站在簇的层面，你可以将边角块簇和中棱块簇的所有块随意人工组装，不会出现非法组合。换句话说，如果你忽略三阶上的中心块和中棱块，你可以转出8!种边角块的位置组合，同理，中棱块是12！，中心块是4^6,这些转出的数据与手工数据完全一致。如果你能找出一种例外，我在吧中谢罪三天。
关键是，不同簇的状态如何组合才是合法，这是扰动关系讨论的问题。对三阶，要么所有簇是基态簇，要么所有簇是扰动簇，所有扰动簇的簇状态可以任意组合，所有基态簇的簇状态可以任意组合，不存在基态簇的簇状态与扰动簇的簇状态组合的可能性。而所有基态簇组合的状态与所有扰动簇组合的状态互不相同，但总数相等，因为簇组合关系只有二种，所以算出一种，乖上2，就是正确答案。
rongduo兄说的棱块置换状态，合法与非法各占一半，应该表达为：棱角置换状态一半归基态簇，一半归扰动簇，而色向和为零不受簇类型影响，从这种角度出法，就可以理解rongduo的计算式为什么是正确的了，但其表述的计算原理是错误的。
从簇层面：
中心块不允许置换，所以永远不会有组装导致的非法状态。
中棱块和边角块记只存在安装造成非法色向，不存在安装造成非法位置组合
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所以，rongduo兄说的棱角置换非法状态根本不存在，倒是棱角色向存在非法安装状态，因此rongduo兄弟的计算原理须要斟酌
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乌兄之所以发生理解困难，是因为没有在意何为簇内变换，何为簇间变换，N阶定律就是为解决以上这类问题而创造的。
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我在这里再给出一个命题：“三阶复原状态偶次转动（以90度转动为基本单位）的状态与三阶复原状态奇次转动的状态有部分相同”，有人同意吗？
[此贴子已经被作者于2006-12-5 10:14:52编辑过]
谢谢冬兄费心详答。
* 您说：“你可以将边角块簇和中棱块簇的所有块随意人工组装，不会出现非法组合。”
我解读为“随意人工组装角和棱的话，（就位置而言）都可位置复原。”这我还未想通，容再想。
* 您说：“如果你忽略三阶上的中心块和中棱块，你可以转出8!种边角块的位置组合，同理，中棱块是12！……”
这我接受。不过，是否把“组合”改为“排列”。
* 您说：“关键是，不同簇的状态如何组合才是合法，这是扰动关系讨论的问题。对三阶，要么所有簇是基态簇，要么所有簇是扰动簇，所有扰动簇的簇状态可以任意组合，所有基态簇的簇状态可以任意组合，不存在基态簇的簇状态与扰动簇的簇状态组合的可能性。而所有基态簇组合的状态与所有扰动簇组合的状态互不相同，但总数相等，因为簇组合关系只有二种，所以算出一种，乖上2，就是正确答案。”
我接受。但这都是指合法三阶魔方转动出来的情况，对吗？否则，我故意错装，其中角簇是扰动的，棱簇不扰动，它不是也可存在吗？只不过它无法仅仅经过转动复原，因而不必对它多所讨论，但要能识别它。
*您说：“乌兄之所以发生理解困难，是因为没有在意何为簇内变换，何为簇间变换，N阶定律就是为解决以上这类问题而创造的。”
是的，我还得尽量弄懂何为簇内变换，何为簇间变换。容后再说。
*那个“命题”我等等再试做。 对了，多给些习题做做是个好办法。
乌木：
我解读为“随意人工组装角和棱的话，（就位置而言）都可位置复原。”这我还未想通，容再想。
pengw:
以二阶（边角块簇）为列，二阶二个角块可以交换位置，那么任意二个角块都可以交换位置，所以计算到第七位就是2，第八位没的选，所以是8!，显然跟人工交换计算的数据一样。同理，中棱块簇也一样，是12！，所人工任意组装，不会有置换状态错误，只有扰动错误。
乌木：
不过，是否把“组合”改为“排列”。
pengw:
说得好，是排列不是组合，这是一个不应该犯的低级错误，羞愧接受。
乌木：
但这都是指合法三阶魔方转动出来的情况，对吗？否则，我故意错装，其中角簇是扰动的，棱簇不扰动，它不是也可存在吗？只不过它无法仅仅经过转动复原，因而不必对它多所讨论，但要能识别它
pengw:
以扰动为核心的N阶定律，不仅可以预言所有魔方的合法状态，也可以预言非法状态，详见“魔方组装分析”一文，就我的理解，状态应该由变换规则自足地预言，而无须拆开魔方，否则只能预示理论有问题，因为我们主要还是对转动而非组装更感兴趣，当然，除大烟头这类梦想靠魔方发财的商人除外，哈哈哈，玩笑。
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上面那个命题，也是N阶定律预言的命题，很有意思。
换一种命题方法：以复原三阶为始态，找出二套公式，一套步数为奇数，一套步数为偶数，这二套公式分别都可以做出同一种状态。
注：以90转动为步长
[此贴子已经被作者于2006-12-5 13:59:40编辑过]
谢谢。
*您说：“人工任意组装，不会有置换状态错误，只有扰动错误。”
原来这两种错误不是用词的不同，而是不同的概念。看来我的问题出在这里。容想。
命题：“以复原三阶为始态，找出二套公式，一套步数为奇数，一套步数为偶数，这二套公式分别都可以做出同一种状态。……”
答题：不可能。因为，复原三阶是无扰动态，设它的6个表层的任何转动次数之和为 n ，n等于1～+∞之中的任一（自然）数，n 非奇即偶，相应的结果态就是非“扰动态”即“无扰动态”，故n为奇数和n为偶数的结果态不可能同态。
命题二：目标是复原状态，目标状态距其它任意状态的最短步数是奇数还是偶数？
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以前好象有个搞最小步的朋友回答过这种问题，这个问题完全可以用N阶定律确定
题目的意思是，如果任选一个三阶打乱态，选定之后，它的最少复原步数是奇数还是偶数？对吗？
我会做，再琢磨琢磨如何写答案，别的魔友也说说。
依据跷跷板原理：
中棱块和边角块各有一半的置还状态与另一半的状态对立平衡，计算也证实了这一点，依广义性：
中棱块置换的对立状态数：12！-12!/2 满足跷跷板原理
边角块置换的对立状态数：8!-8!/2 满足跷跷板原理
中棱块色向的对立状态数：2^12-2^11,依然为1/2， 满足跷跷板原理
边角块色向的对立状态数：3^8-3^7，变成2/3， 违背跷跷板原理
中心块色向的对立状态数：4^6-4^5,变成了3/4， 违背跷跷板原理
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照rongduo的计算原理，相互对立状态的总和等于魔方总状态，因此有：
20160 × 239500800 × 2187 × 2048+20160 × 239500800 ×（ 3^8-3^7）×（2^12-2^11）
显然计算结果是正确值的1.5倍,而rongduo的计算式违背了自已定义的计算原理。难到跷跷板原理只对位置置换起作用，对色向无效？以上问题，可能需要作者向大家作进一步的说明。
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在排掉二、三阶色向的前提下，可置换的簇状态各占一半的对立，是正确的，三阶的扰动方程也预言了这一点。其实任何可置换的簇都有这种各占一半的特性，即所谓的基态簇与扰动簇的关系。三阶有二种扰动关系，所以，要么全是基态簇，要么全是扰动簇，从这一点计算出魔方总状态，是可以的，但角块色向与中心块色向并不遵寻跷跷板原理，作者只是直接引用色向状态而非色向对立状态，显然与自已的计算原理违背，但结果碰巧是正确的
对于四阶，基态簇与扰动簇组合关系跟三阶完全不一样，共有四种搭配方式，很难用此消彼长的跷跷板来解释，而三阶上的角色向不满足跷跷板原理的问题，在四阶或以后N阶都存在。
哈哈，很好!
首先需要将书中到本章节为止的算法与你的根据自己的理解加进的算法区别开来。
先说书中的算法。本节进行的是汇总计算，而所有引用的数字是从前面几节中的明细计算得来的。比如那个3^7，其来路见本章第一节，这里不作新的补充。
下来看你的质疑。需要声明，跷跷板原理只是指出正确的魔方图案应该是什么样的，至于这样的图案有多少，则需借用组合论的公式。跷跷板原理不能直接推出你所列示的1/2或2/3 或其它数字。简单地说，跷跷板原理本质上是描述的而非计算的，我们用它来指导组合计算。故而，你用是否等于1/2或其它y/x来判定是否符合跷跷板原理，在本书中没有根据，或者说，那只是你的理解，客观上与本书内容无关。等于1/2未必一定符合跷跷板原理，不等于1/2也未必不符合跷跷板原理。其实本书至此对1/2之类并不很看重，只是在算出结果后(1/2之类并不是计算的前提!)顺代指出，“恰好”有1/2这个数。
另一点，你的质疑思路是包括错误组装在内的（姑且称之为“容错组装“），而本书至此的计算并未考虑容错组装。至于从容错组装角度的计算，见下一节的两种算法。
现在深入一步。其实，1/2和1/3这两个数还真的不是“恰好碰上”的，但其证明乃是群论的任务。在下一章提供的算法(乙）中可以约略看出那个1/2在群论中的来路，那个1/3 (你误认为是2/3) 的来路从本章第一节就可以看出，而用群论方法也能得到。
概括起来看，问题出在你质疑的思路与书中的思路完全不相合（你是否稍微认真地浏览过前三节？)，质疑的内容与质疑对象的内容关联性不大。你和被质疑的对象之间基本上是各说各话。
剩下的是中心块问题。现在我明确指出，跷跷板原理用于中心块无效（以前我曾误以为可以推广到中心块），这是它的局限性。对此以后再谈。
自辩结束。我不知道“原告”能在多大程度上接受我的自辩。
刚才发现，有一个叫Ericsong的人，把我的小书的前五章以他的名义挂在了一个叫“数字魔方”的网站：
http://www.wystudy.com/bbs/dispbbs.asp?boardid=45&id=5242
我对此事很感不爽，但不知道怎么处理才好，特在此向吧主cube_master反映并求示下。
[此贴子已经被作者于2006-12-6 17:47:00编辑过]
试做91楼的命题二。
如果是全色三阶魔方，例如表面各单元正方形除颜色外，还标有可以显示其方向的标记（例如文字或图案等），那么，角和棱上的标记无所谓（因为颜色足以表明它们的取向了），只要看6个中心块的方向如何。如果有另一复原了的目标魔方实物在，最好；否则应该设法知道复原态时各中心块上标记的方向。再考查打乱态魔方的中心块，统计被转过90°（无论顺、逆时针）的中心块的总数n。n为奇数，则该魔方复原的最少步数为奇数；n为偶数，则魔方复原的最少步数为偶数。
如果一时无法知道各中心块原来的方向，也可按下述纯色魔方办法做。
如果是纯色三阶魔方，中心块方向状态是隐性的，则只要考查角簇或棱簇状态。以角簇为例，不管它们的取向如何，只看位置变化如何。两角互换、四角轮换、6角轮换和8角轮换都属于偶（性换位）环，找出所有的、一个个偶环，并求出偶环个数之和m。m是奇数，则魔方复原的最少步数为奇数；m为偶数，则复原的最少步数为偶数。
改用考查棱块的换位情况也一样，只不过还可能有10棱轮换环和12棱轮换环而已。
过程中最好动动笔和纸。
其实，这样判断出来的，不仅是复原的最少步数之奇偶，也是或精明或笨拙的、或快法或慢法、或亮拧或盲拧的任何复原方法的步数之奇偶。稍有不符，一定是没复原！
所以题目中的“最小步数”，就此题来说，是迷惑迷惑您的。
举个例子。复原态－－做U'、L'、U、L、U、F、U'、F'。假定您不知道这打乱步数，这打乱态中，角簇仅有一个三个角的轮换，角簇的“偶环数”为0，故复原步数为偶数。看棱簇也一样，棱簇仅有一个五个棱的轮换，棱簇的偶环数为0，故复原步数是偶数。
乌的回答基本上是正确的，我曾发表一篇“公式步长机偶”的论文，其实说的很清楚了。对三阶，扰动到非扰动状态，一定是奇数步，非扰动到非扰动一定是偶数步，只要弄清手中魔方状态的扰动情况，即可判断该状态到复原状态步数的奇偶性，而与最小步数无关。一句话，魔方的始末二态，决定公式步数的奇偶性，无论始末之间有多少个转换公式。
rongduo兄的答复，今早才注意到，实在不好意思。根据rongduo兄的答复，丢开具体细节，是不是可以这样理解：
1。rongduo兄说，“跷跷板原理只是指出正确的魔方图案应该是什么样的，至于这样的图案有多少，则需借用组合公式”，我的理解是，能预言魔方正确状态的理论，一定可以预言状态数。那么，是不是可以说，跷跷板原理尚不能自足地预言三阶魔方所有状态？
2。rongduo兄说，“。。。我明确指出，跷跷板原理用于中心块无效”，丢开中心块的魔方状态显然是不完整的，因此，严格地讲，跷跷板原理不能预预言正确的魔方状态。
3。即然命名为跷跷板原理，一般就理解为二端平衡，但现在rongduo兄说，不仅限于这种方式，那么，是否可以为大家举出一个多端平衡的例子？角块色向组合的合法与非法的比例是：3^7(3^8-3^7)=1/2,即一个正确对二个错误，如何平衡？三阶全色魔方合法与错误状态之比 1：23，如何平衡？
rongduo兄在计算状态时，的确是引入合法与非法状态因子进行计算的，但感觉原理指导过程不清晰。
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另外，rongduo兄能否从概括角度，明确跷跷板原理的定义，功能，适用范围，并例举应用事例，可以帮助大家正确理解。
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争论不可谓不尖锐，你来我往，相互提高，共同促进，君子之争，唯理胜出，可千万不要弄成原告/被告这种对立关系，哈哈哈。
[此贴子已经被作者于2006-12-7 6:13:01编辑过]
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