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标题: 双空穴换位子的7种模式及其图解 [打印本页]

作者: 123wyx 时间: 2017-7-9 12:43:20 标题: 双空穴换位子的7种模式及其图解

本帖最后由 123wyx 于 2017-7-9 14:10 编辑

双空穴换位子的7种模式及其图解

123wyx

   最近一段时间，5轮换专家天方魔彭永强魔友在mf8论坛发表了《三盲[五循环]研究》、《[五循环]实例及“标态”研究》，对5轮换及双空穴换位子的原理进行了深入的探讨，并给出了相应的例子。这些文章对大家理解、研究5轮换起到了重要的作用。

   下面，我把天方魔文章中提到的双空穴换位子的各种模式简单整理一下，并配上相应的图片，以使大家能够更加直观地理解这些内容。

【注】
   需要指出的是，换位子（commutator）是抽象代数中的一个重要概念。对群G的元素a,b，称[a,b]=aba’b’为a,b的换位子，其中a’与b’分别表示a与b的逆元素。换位子是衡量交换性的一个尺度。

   “换位子”是“commutator”一词在数学界的标准译名。魔方界使用commutator发展盲拧理论已有十余年的历史，盲拧理论中的“commutator”这一概念正是来源于抽象代数的换位子概念，所以把“commutator”一词译为“换位子”是完全合理的。希望看到更多的盲拧选手使用“换位子”这一规范的译名。

作者: 123wyx 时间: 2017-7-9 12:44:30

本帖最后由 123wyx 于 2017-7-9 14:10 编辑

这里插一层楼给出笔者主要技术帖的索引，以方便大家交流探讨。

《三阶魔方三轮换分类及其应用》
《教你手算彳亍法角块378公式》
《棱块RU流三轮换公式原理浅析》
《棱块三轮换公式的四种模式》
《对换位子公式的一点理解》
《双空穴换位子的7种模式及其图解》
《我练习多盲的方法和经验》
《魔方盲拧与竞技记忆》（《魔方》杂志第9期）

很久以前写的一些小文章：
《学习盲拧注意事项》
《奇偶带翻角》
《30.58解法分析》（2011年许宇辉老师三盲世界纪录解法）
《五魔方盲拧法》

作者: 123wyx 时间: 2017-7-9 12:45:31

本帖最后由 123wyx 于 2017-7-9 14:11 编辑

首先用一张图回顾一下我们最熟悉的单空穴换位子3轮换的原理。

0. 3轮换.png

图单空穴换位子3轮换

通过上图，我们可以明确地看到换位子[A,B]=ABA’B’中的四个步骤的作用。

我们在盲拧中使用的几乎全部角块3轮换（详见《教你手算彳亍法角块378公式》）以及拙作《棱块三轮换公式的四种模式》中提到的棱块“普通换位子”公式都是单空穴换位子3轮换（“普通换位子”中所谓“普通”指的正是“单空穴”）及其共轭（即加上setup/reverse）的形式。

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作者: 123wyx 时间: 2017-7-9 12:46:34

本帖最后由 123wyx 于 2017-7-9 14:12 编辑

   天方魔的文章《[五循环]实例及“标态”研究》对双空穴换位子的原理进行了分析。文章指出，双空穴换位子[A,B]=ABA’B’四个步骤中的每一步骤（以下简称为“单步骤”）都会对两个空穴产生影响。按照两空穴位置移动的效果，可以把单步骤分为三类：“完全替换”、“半替换”和“互相替换”。《[五循环]实例及“标态”研究》的3楼已经给出了这三种单步骤的图解。（以下把这三种单步骤依次分别简称为“全”、“半”和“互”。）

   文章还指出，双空穴换位子[A,B]=ABA’B’的A和B这两个单步骤可以分别取三种单步骤（即“全”、“半”和“互”）的其中一种，不同的单步骤组合会产生不同的置换效果。

   其中，当A与B一个是“完全替换”，另一个是“半替换”时，换位子的效果将是一个5轮换。该文章指出，5轮换的“标态”必然是“完全替换”+“半替换”的状态。（本文把这种模式简记为“全+半”。）

   5轮换“全+半”的图解如下。

1. 5轮换（全半）.png

图 5轮换“全+半”

那么我们自然想到，双空穴换位子[A,B]=ABA’B’的A和B这两个单步骤各取“全”、“半”、“互”的其中一种，可以构成多少种不同的组合？这些组合构成的换位子分别产生什么样的置换效果？

下面笔者以天方魔的文章为依据，尝试整理出双空穴换位子的各种模式，并给出相应的图解和例子。

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作者: 123wyx 时间: 2017-7-9 12:47:42

本帖最后由 123wyx 于 2017-7-9 14:12 编辑

笔者目前把双空穴换位子整理为7种模式，它们分别是：

1. “全+半”——5轮换；
2. “全+全”——双3轮换；
3. “全+互”——双对换(1)；
4. 同向“半+半”——双对换(2)；
5. 异向“半+半”——双对换(3)；
6. “半+互”——M流3轮换；
7. “互+互”——不变。

（也许存在尚未想到的情况，欢迎读者补充。）

我们逐个分析这7种模式。

作者: 123wyx 时间: 2017-7-9 12:48:51

本帖最后由 123wyx 于 2017-7-9 14:13 编辑

1. “全+半”——5轮换

1. 5轮换（全半）.png

图 “全+半”——5轮换

   从上图可以看到，通过“全+半”形式的移动，换位子涉及的5个块发生了轮换。

   5轮换最经典的例子就是[U,M’]=UM’U’M。绝大部分实用的5轮换都可以看作这个短公式的共轭。

   [U,M’]=UM’U’M这个公式中，UF和UB构成双空穴。第一步U把UR和UL分别移到UF和UB这两个空穴位置，所以是“完全替换”；第二步M’把FD和UF分别移到UF和BU这两个空穴位置，所以是“半替换”。也就是说，这个公式是“全+半”的结构，它也确实产生了5轮换的效果。

   还有一个例子是[LU’L’U’,M2]。天方魔《[五循环]实例及“标态”研究》的1楼已经对这个例子作出了详细的解释。我们看到，这个公式中UF和UB构成双空穴。第一步骤LU’L’U’把UL和UF分别移到UF和UB这两个空穴位置，所以是“半替换”；第二步骤M2把DB和DF分别移到UF和UB这两个空穴位置，所以是“完全替换”。也就是说，这个5轮换公式也是“全+半”的结构。

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作者: 123wyx 时间: 2017-7-9 12:50:02

本帖最后由 123wyx 于 2017-7-9 14:13 编辑

2. “全+全”——双3轮换

2. 双3轮换（全全）.png

图 “全+全”——双3轮换

从这张图可以看出，“全+全”形式的双空穴换位子产生了双3轮换的效果。

例如，在公式[U,M2]=UM2U’M2中，UF和UB构成双空穴。第一步U把UR和UL分别移到UF和UB这两个空穴位置，所以是“完全替换”；第二步M2把DB和DF分别移到UF和UB这两个空穴位置，所以也是“完全替换”。也就是说，这个公式是“全+全”的结构，它产生双3轮换（UF-DB-UR与UB-DF-UL两个3轮换）的效果。

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作者: 123wyx 时间: 2017-7-9 12:51:11

本帖最后由 123wyx 于 2017-7-9 14:13 编辑

3. “全+互”——双对换(1)

在本文所述7种模式中，有3种产生了双对换（即双2轮换）的效果，它们分别是“全+互”、“同向‘半+半’”以及“异向‘半+半’”。我们分别来看。

3. 双对换1（全互）.png

图 “全+互”——双对换(1)

从这张图可以看出，“全+互”形式的双空穴换位子产生了双对换的效果。

例如，在公式[U2,M2]=U2M2U2M2中，UF和UB构成双空穴。第一步U2把UB和UF分别移到UF和UB这两个空穴位置，所以是“互相替换”；第二步M2把DB和DF分别移到UF和UB这两个空穴位置，所以是“完全替换”。也就是说，这个公式是“全+互”的结构，它产生双对换（UF-UB与DF-DB两个对换）的效果。

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作者: 123wyx 时间: 2017-7-9 12:52:17

本帖最后由 123wyx 于 2017-7-9 13:45 编辑

4. 同向“半+半”——双对换(2)

4. 双对换2（同向半半）.png

图同向“半+半”——双对换(2)

   图中所示的前两个单步骤可以看成把空穴向同样的方向移动（此图中前两步都是左边空穴上的块移动到右边的空穴上），所以我们将此图所示模式称为“同向‘半+半’”。

   从这张图可以看出，同向“半+半”形式的双空穴换位子也产生了双对换的效果。

   例如，在公式[LU’L’U’,M’]=(LU’L’U’)M’(ULUL’)M中，UF和UB构成双空穴。第一步骤LU’L’U’把UL和UF分别移到UF和UB这两个空穴位置，所以是“半替换”；第二步骤M’把FD和FU分别移到UF和UB这两个空穴位置，所以也是“半替换”。而且我们注意到，前两个步骤都是把UF空穴上的块移动到UB空穴位置上，所以这个公式是同向“半+半”的结构，它产生双对换（UF-UB与UL-DF两个对换，注意色向问题）的效果。

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作者: 123wyx 时间: 2017-7-9 12:53:19

本帖最后由 123wyx 于 2017-7-9 14:13 编辑

5. 异向“半+半”——双对换(3)

除了上面介绍的“同向‘半+半’”，还有一种“半+半”的模式，即“异向‘半+半’”。

5. 双对换3（异向半半）.png

图异向“半+半”——双对换(3)

   图中所示的前两个单步骤可以看成把空穴向相反的方向移动（此图中第一步是左边空穴上的块移动到右边的空穴上，而第二步是右边空穴上的块移动到左边的空穴上），所以我们将此图所示模式称为“异向‘半+半’”。

   从这张图可以看出，异向“半+半”形式的双空穴换位子仍产生双对换的效果。

   例如，在公式[LU’L’U’,M]=(LU’L’U’)M(ULUL’)M’中，UF和UB构成双空穴。第一步骤LU’L’U’把UL和UF分别移到UF和UB这两个空穴位置，所以是“半替换”；第二步骤M把BU和BD分别移到UF和UB这两个空穴位置，所以也是“半替换”。而且我们注意到，第一个步骤是把UF空穴上的块移动到UB空穴位置上，而第二个步骤是把UB空穴上的块移动到UF空穴位置上，所以这个公式是异向“半+半”的结构，它产生双对换（UF-UL与UB-DB两个对换）的效果。

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作者: 123wyx 时间: 2017-7-9 12:56:14

本帖最后由 123wyx 于 2017-7-9 14:03 编辑

6. “半+互”——M流3轮换

6. M流3轮换（互半）.png

图 “半+互”——M流3轮换

   从这张图可以看出，“半+互”形式的双空穴换位子产生了3轮换的效果。

   事实上，这正是我们熟悉的M流3轮换的模型。在公式[U2,M’]=U2M’U2M中，UF和UB构成双空穴。第一步U2把UB和UF分别移到UF和UB这两个空穴位置，所以是“互相替换”；第二步M’把FD和FU分别移到UF和UB这两个空穴位置，所以是“半替换”。也就是说，这个公式是“半+互”的结构，它产生3轮换的效果。

   拙作《棱块三轮换的四种模式》已经指出，盲拧中使用的棱块3轮换公式按结构可以分为四类，它们是：普通（单空穴）换位子、RU流、M流换位子以及5轮换叠加。

   《棱块三轮换的四种模式》事实上已经指出，棱块3轮换公式的四种结构都可以写成换位子的形式（也就是说，目前实用的棱块3轮换公式都可以写成换位子的共轭。（即setup到换位子）。）

   通过天方魔的文章及本文的图解可以看到，现在我们已将棱块3轮换公式中使用的“M流换位子”和“5轮换”统一在“双空穴换位子”的理论框架下（它们分别是“半+互”和“全+半”的模式）。所以现在我们可以用更严谨的术语表述棱块3轮换的四种结构，它们分别是：

   (1) 单空穴换位子3轮换（及其共轭，下同）；
   (2) “相邻外层交替转动+整体旋转”型换位子（RU流）；
   (3) “半替换+互相替换”型双空穴换位子3轮换（M流换位子）；
   (4) “完全替换+半替换”型双空穴换位子5轮换的叠加。

【注】
   “相邻外层交替转动+整体旋转”型换位子（RU流公式）中的“整体旋转”是指将RU流公式写成换位子形式时，y2z这一整体旋转是换位子的一个单步骤。

   例如
   <1> RURURU'R'U'R'U'=[RURUR,y2z] ；
   <2> U2R'U'R'U'R2URUR=R'U'(A)UR=[R'U':A]，
            其中A=URU2R'U'R'U'R2UR=[URU2R'U',y2z]=[[UR:U2],y2z]。

   这一点已在《棱块三轮换的四种模式》中说明。

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作者: 123wyx 时间: 2017-7-9 12:57:22

本帖最后由 123wyx 于 2017-7-9 14:14 编辑

7. “互+互”——不变。

7. 不变（互互）.png

图 “互+互”——不变。

从这张图可以看出，“互+互”形式的双空穴换位子作用后，魔方状态不变。

例如，在公式[U2,U2]=U2U2U2U2=1（恒等元）中，UF和UB构成双空穴。每步的U2都使UF和UB互换，整个公式作用后，魔方状态不变。

附件: 7. 不变（互互）.png (2017-7-9 13:22:16, 19.03 KB) / 下载次数 278
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作者: 123wyx 时间: 2017-7-9 12:58:20

本帖最后由 123wyx 于 2017-7-9 14:15 编辑

   上面已经逐个介绍了双空穴换位子的7种模式，并给出了相应的图解。

   通过以上的探讨我们了解到，双空穴换位子的三种单步骤——“完全替换”、“半替换”和“互相替换”的不同组合会产生不同的置换效果。双空穴换位子的7种模式分别产生了5轮换、双3轮换、双对换、“M流3轮换”以及“不变”这5种效果。

   在盲拧公式原理方面，我们将棱块3轮换中用到的“M流换位子”和“5轮换”统一在了“双空穴换位子”的理论框架下，并用更严谨的术语对棱块3轮换的四种结构进行了重新表述。

   笔者相信，换位子理论是魔方盲拧理论的一个重要生长点，它还有很多内容等待着我们去挖掘。

2017年7月8日

作者: 123wyx 时间: 2017-7-9 12:59:31

本帖最后由 123wyx 于 2017-7-9 13:11 编辑

自占一楼备用。欢迎魔友批评指正。

作者: 天方魔 时间: 2017-7-9 13:06:31

本帖最后由天方魔于 2017-7-9 13:35 编辑

半替换+半替换的同向和异向很有意思。感觉半替换+全替换的全替换里替换两个空穴的位置顺序这个更值得研究，之前在群里说过我在推导一个case的时候不知道两个非空穴位置的块是替换到空穴1和空穴2还是空穴2和空穴1。

作者: 天方魔 时间: 2017-7-9 13:31:25

“半替换+互相替换”型双空穴换位子3轮换（M流换位子）
这个虽然正确但是实际应用的很少。双空穴互相替换除了做U2或者F2（转群都为M层）这种，其他都很麻烦，真用这种“半替换+互相替换”做三循环公式的话太麻烦了。实际应用的三循环基本上还都是单空穴的换位子。在最初写“标态”研究的那个帖子的时候刚开始我都没打算把双空穴“相互替换”给列出来，想起来解释[U2,M']这个三循环公式的时候才想起来。

作者: 123wyx 时间: 2017-7-9 18:14:19

本帖最后由 123wyx 于 2017-7-9 21:35 编辑

天方魔发表于 2017-7-9 13:06
半替换+半替换的同向和异向很有意思。感觉半替换+全替换的全替换里替换两个空穴的位置顺序这个更值得研究， ...

对，碰到具体的5轮换，怎么去运用原理推导公式更重要。
----------------------------------
“半+互”这种模式，我觉得有[U2,M']这一个经典公式，作用就已经非常大了。

作者: 折翼蚂蝗 时间: 2017-7-9 22:15:36

很强大的理论帖！刚入魔时我也研究过一段时间魔方理论，但很快就偏离这条线了

支持楼主这样的研究者

作者: luckybox 时间: 2017-7-10 11:56:03

很高深，但是看不懂

作者: 蒲公英的翅膀 时间: 2017-7-22 12:57:57

对于盲拧公式理解有帮助，谢谢分享

作者: abunickabhi 时间: 2018-7-22 04:22:44

天方魔发表于 2017-7-9 10:31
“半替换+互相替换”型双空穴换位子3轮换（M流换位子）
这个虽然正确但是实际应用的很少。双空穴互相替换除 ...

是的，这种半替代理论是好的。
正如我所讨论的那样，制定更大的周期总是好的。
例如，由于案件数量很难发展的5式。

坦率地说，拼音系统非常适合编码边缘和角落。

对于边缘~8到12个目标，魔术块可以编码为3个图像，并且它被记忆为人，动作和对象。这是方便的记忆。

因此切换到此方法会有好处!

作者: 123wyx 时间: 2018-8-1 21:12:51

abunickabhi 发表于 2018-7-22 04:22
是的，这种半替代理论是好的。
正如我所讨论的那样，制定更大的周期总是好的。
例如，由于案件数量很难 ...

谢谢回复。
其实5-cycle在盲拧上的直接应用是比较困难的，更多的是用2个短的5-cycle来构造3-cycle。现在研究5-cycle主要是出于理论上的兴趣。
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在多盲（Multi BLD）项目上，我仍然看好把双字母编码练到极致。双字母主谓宾系统（PAO system）工程太大，个人不太看好这种方法，我不知道现在国外是否有人在使用PAO system完成多盲项目。

作者: zhang2345 时间: 2019-2-3 14:14:40

牛逼的理论

作者: 李老豆 时间: 2020-7-9 10:19:21

好详细，配图直观易懂

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