由魔方的 相似变换 分析 整体翻转 的性质 [修复贴]
应 黑白子 的要求,现将主题帖 《由魔方的 相似变换 分析 整体翻转 的性质》
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修复一下。 请大家注意,所有内容都是原帖内容的翻版,如有 定义、论述 与现行的
定义、论述 发生冲突,本人就不再纠错了,以保持原有内容的“原汁原味”,请各位
魔友谅解。
一、魔方 相似变换 的定义
1、魔方 相似变换 的定义:
设 A 、B 、X 为魔方任意变换,并且满足 B = X' A X ,则称 变换 B
是 变换 A 的 相似变换 。
由魔方 相似变换 的定义,得到 若 变换 B 是 变换 A 的 相似变换
那么存在变换 X 使得 B = X' A X ,
则 X B X' = X ( X' A X ) X' = ( X X') A ( X X') = A
即 A = X B X' ,从而反过来得 变换 A 也是 变换 B 的 相似变换 。
故 满足 B = X' A X 时,我们称 变换 A 、变换 B 互为 相似变换 。
顺便说一下: 相似变换 具有 反身性、对称性、传递性 等性质。
2、魔方 相似状态 的定义:
我们对魔方的 复原状态 进行 变换 A 的操作后得到的状态称为
状态 A ; 同样 对魔方的 复原状态 进行 变换 B 的操作后得到的状态
称为 状态 B , 等等 。
如果 变换 A 、变换 B 互为 相似变换 ,我们称它们所对应的
状态 A 、状态 B 互为 相似状态
同样 相似状态 也具有 反身性、对称性、传递性 等性质。
由于 状态 被 变换 唯一确定 的特殊关系,因此很多时候
我们 把 状态 A 也称为 变换 A ,在不太严谨的时候 或 通常 我们可以
把 状态 A 称为 变换 A ; 把 相似状态 称为 相似变换 。
3、 相似变换 不改变魔方的 环结构 (证明 从略)。
请大家参考:循环公式的一种现象 (作者: 大烟头)
http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=562
我来玩玩 正六面体三阶魔方 ---《循环公式》(本人拙作)
http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=181
由 相似变换 不改变魔方的 环结构 ,直接得到:
如果 变换 A 、变换 B 互为 相似变换 ,则它们的 最小循环
周期 相等。 ( 也可用 B = X' A X 直接证明,证明很简单 从略 )
输入并查看公式环结构 等 的软件:
http://www.randelshofer.ch/cubetwister/files/installCubeTwister1.0.3.1Win.exe
正六面体三阶魔方环结构 Java 软件,可惜是一开始是 德国 语法,
每次都需要设置:
二、由魔方的 相似变换 分析 整体翻转
我们知道如果 A 、B 、X 满足 B = X' A X ,则称 变换 B 是
变换 A 的 相似变换 。 并且 相似变换 不改变魔方的 环结构 。因此
我们由魔方的 相似变换 分析 魔方的 “整体翻转” 。设 魔方的某个
整体翻转 为 Z ,下面我们看看这个 整体翻转 Z 都有那些性质。
1、 把 整体翻转 Z 当作 X 的性质: B = Z' A Z
此时 A 与 B 的关系为 自同构 ,Z 的功劳不可低估,
相关内容请大家参考:
最远态小于26步之论文摘录 (作者: noski)
http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=6704
正六面体 二 阶魔方 自同构 实例 26 ~ 40 楼(本人拙作)
http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=6220&extra=page%3D1&page=3
2、 把 整体翻转 Z 当作 A 的性质: B = X' Z X
此时 B 与 Z 的关系当然为 整体翻转 的 相似变换 。
不同的 X 、Z 就有不同的 相似变换 ,而且这些 相似变换
全部 都是 整体翻转 的 相似变换 。
整体翻转 Z 对于 正六面体 N 阶魔方 有 24 个不同状态,
对于其他 各类魔方 各不相同,却都还是 定值 。
但 X 就大不一样了,不同的 X ,相同的 Z ,其 B = X' Z X
的个数与 X 、Z 的关系比较复杂。
当然,不同的 X ,不同的 Z ,其 B = X' Z X 中 B 的个数与
X 、Z 的关系还要复杂,还是留给大家研究吧。(本人比较忙)
下面给大家一些“正六面体三阶魔方”简单的例子,让大家领悟魔方
整体翻转 并不简单 。 也希望大家积极跟贴探讨研究魔方 整体翻转 的各种
性质。 我在这里算是 抛砖引玉 了。
本帖最后由 ggglgq 于 2013-9-11 20:55 编辑
Z = CUX = RB = R' CU R
SupersetENG
CU
SupersetENG
R
SupersetENG
R' CU R
本帖最后由 ggglgq 于 2013-9-11 20:59 编辑
Z = CU CBX = R F'B = F R' CU CB R F'
SupersetENG
CU CB
SupersetENG
R F'
SupersetENG
F R' CU CB R F'
Z = CU CB CF X = R F'L B = L'F R' CU CB CF R F'L
SupersetENG
CU CB CF
SupersetENG
R F'L
SupersetENG
L'F R' CU CB CF R F'L
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