公司应该雇用多少员工？
某公司有一个规定：只要有一个员工过生日，当天所有员工放假一天。但在其余所有时候，所有员工正常上班。这个公司需要雇用多少员工，才能让公司一年内所有员工的总工作时间期望值最大？假设一年有 365 天，每个员工的生日都概率均等地分布在这 365 天里。 365个人 ................. 应该是人越多，几率越大，但是没有最大吧。。。。 我觉得人数要尽量的少。。。。。。。。。 我是这样理解的
期望值m=（365-员工生日数）乘以员工总数
而此题牵扯到最大 那么估计不是1就是无限(本人胡思乱想的)
员工越多生日在一天的几率就越大 那么应该是1名员工
[ 本帖最后由 盲拧着摸象 于 2011-7-19 22:05 编辑 ] 1个人最好，休息一天，需要工作354天 假设招聘n个人，总工作时间的期望为f(n)。 每个人生日在任何一天的概率都是1/365。
那么f(1)=364
f(2)=726+2/365
....
n越大计算就越复杂，但开始的时候f(n)是增函数。
为了了解f(n)的大概趋势，下面用电脑来模拟。
对于任意一个n，随机确定这n个人的生日，从而计算总工作时间＝n*(365-不同生日数），对于每个n随机模拟10000次，计算总工作时间的平均值来估计f(n)。
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n f(n)的估计值
400 48702.8799999999
390 48805.809
380 48899.844
370 48940.529
367 48944.7715000001
365 48928.14036
360 48903.6959999998
350 48854.0150000002
－－－－－－－－－－－－－－－－－
从以上看出n大概在360－380之间，f(n)最大。
具体到哪个n值，f(n)最大？
需要精确计算，或增加模拟的次数。 设随机变量人数为N 工作天数为M
可得期望 N和M有 E(N) + E(M )=E(N+M)
总工作时间=N*M
总工作时间的期望=N*E(M)
在特定的一天中~~没有人过生日的概率是(364/365)^n 那么这一天的总工作期望天数就是n*(364/365)^n
只要考虑工作天数期望的最大值
所以只需要总工作天数期望函数随人数变化的单调性
看函数 F(N)=[(N+1)*(364/365)^(N+1)]/ [(N)*(364/365)^(N)]的值的变化，F(N)>1则函数单调递增 F(N)<1则函数单调递减
即F（N）=1时 工作期望函数达到顶点 因为N属于自然数
所以解得当N等于365时 总工作天数期望最大
所以公司雇佣365名员工时总期望工作时间最大
如果考虑到闰年的计算还没考虑过 考虑到闰年 则有可能有人四年过一次生日 而那一年总天数为366天
但是只取正整数的情况下闰年误差应该不会影响到结果
[ 本帖最后由 sjont 于 2011-7-23 17:56 编辑 ] 8#的想法非常好。根据8#的思路，期望值f(n)=365*n*(364/365)^n
当1+n*ln(364/365)=0时，f(n)取最大值。所以n=1/ln(365/364)=364.49977137619986719842604528204.
由于n为整数，所以应该比较f(364)和f(365)的大小，根据8#的计算结果，它们相等。所以n=364和365时，f(n)取最大值=364^365/365^363=48943.523805351118109005476101081.
由于聘365人的工资花费大，所以应该聘364人。
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