关于1x3x3魔方状态图的详细思路(10楼再次更新!)
==================================================说明
本贴从1x3x3魔方的初始状态出发,通过对R、L、F、B四个基本操作的跟踪,以及从魔方的各种循环入手,得出192个状态之间的关系图;
另外,通过使用“对状态进行分组”的方法,不断扩大魔方状态的基本单元,最终得到了各个状态组之间的拓扑关系。
本文为 魔方吧·noski 原创,转载请保留此段。
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1x3x3魔方共有192个状态,这192个状态列表见东方的帖子的19楼:
【東方】有关1*3*3的最远步数,平均还原步数,全部状态数。。。
http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=32990
那么,这192个状态之间,是什么样的关系呢?
虽然在该帖子的第82楼,我给出了1x3x3状态图的一部分,但这样仍不能了解整个192状态的最终形态。
所以我把思路在这个帖子中贴出来,大家继续讨论!
这些“跟踪循环”、“状态分组”等方法,是画一个魔方状态图的最基本方法,希望大家能够用这些方法来画出更多魔方的状态图!
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附:1x3x3魔方的192个状态及其代数列表
Generation 0: 1: (G:0) (N: 36)
min=2, max=5, New Generation=4
2: (G:1) (N: 551)
3: (G:1) (N: 152)
4: (G:1) (N: 308)
5: (G:1) (N: 97)
min=6, max=15, New Generation=10
6: (G:2) (N: 667)
7: (G:2) (N: 775)
8: (G:2) (N: 621)
9: (G:2) (N: 440)
10: (G:2) (N: 210)
11: (G:2) (N: 822)
12: (G:2) (N: 412)
13: (G:2) (N: 369)
14: (G:2) (N: 611)
15: (G:2) (N: 201)
min=16, max=39, New Generation=24
16: (G:3) (N: 907)
17: (G:3) (N: 734)
18: (G:3) (N: 262)
19: (G:3) (N: 915)
20: (G:3) (N: 845)
21: (G:3) (N: 108)
22: (G:3) (N: 761)
23: (G:3) (N: 953)
24: (G:3) (N: 300)
25: (G:3) (N: 498)
26: (G:3) (N: 723)
27: (G:3) (N: 70)
28: (G:3) (N: 926)
29: (G:3) (N: 518)
30: (G:3) (N: 889)
31: (G:3) (N: 172)
32: (G:3) (N: 467)
33: (G:3) (N: 882)
34: (G:3) (N: 461)
35: (G:3) (N: 715)
36: (G:3) (N: 851)
37: (G:3) (N: 556)
38: (G:3) (N: 505)
39: (G:3) (N: 134)
min=40, max=92, New Generation=53
40: (G:4) (N: 393)
41: (G:4) (N: 803)
42: (G:4) (N: 974)
43: (G:4) (N: 220)
44: (G:4) (N: 630)
45: (G:4) (N: 402)
46: (G:4) (N: 54)
47: (G:4) (N: 329)
48: (G:4) (N: 675)
49: (G:4) (N: 988)
50: (G:4) (N: 334)
51: (G:4) (N:1009)
52: (G:4) (N: 248)
53: (G:4) (N: 348)
54: (G:4) (N: 35)
55: (G:4) (N: 969)
56: (G:4) (N: 694)
57: (G:4) (N: 813)
58: (G:4) (N: 649)
59: (G:4) (N:1014)
60: (G:4) (N: 28)
61: (G:4) (N: 355)
62: (G:4) (N: 583)
63: (G:4) (N: 995)
64: (G:4) (N: 668)
65: (G:4) (N: 374)
66: (G:4) (N: 9)
67: (G:4) (N: 654)
68: (G:4) (N: 987)
69: (G:4) (N: 7)
70: (G:4) (N: 658)
71: (G:4) (N: 585)
72: (G:4) (N: 376)
73: (G:4) (N:1005)
74: (G:4) (N: 685)
75: (G:4) (N: 56)
76: (G:4) (N: 227)
77: (G:4) (N: 978)
78: (G:4) (N: 327)
79: (G:4) (N: 594)
80: (G:4) (N: 824)
81: (G:4) (N: 237)
82: (G:4) (N: 391)
83: (G:4) (N: 338)
84: (G:4) (N: 967)
85: (G:4) (N: 796)
86: (G:4) (N: 45)
87: (G:4) (N: 696)
88: (G:4) (N:1016)
89: (G:4) (N: 365)
90: (G:4) (N: 438)
91: (G:4) (N: 647)
92: (G:4) (N: 18)
min=93, max=156, New Generation=64
93: (G:5) (N: 289)
94: (G:5) (N: 185)
95: (G:5) (N: 454)
96: (G:5) (N: 531)
97: (G:5) (N: 876)
98: (G:5) (N: 116)
99: (G:5) (N: 492)
100: (G:5) (N: 147)
101: (G:5) (N: 838)
102: (G:5) (N: 569)
103: (G:5) (N: 178)
104: (G:5) (N: 472)
105: (G:5) (N: 564)
106: (G:5) (N: 158)
107: (G:5) (N: 121)
108: (G:5) (N: 843)
109: (G:5) (N: 481)
110: (G:5) (N: 161)
111: (G:5) (N: 523)
112: (G:5) (N: 748)
113: (G:5) (N: 478)
114: (G:5) (N: 884)
115: (G:5) (N: 94)
116: (G:5) (N: 267)
117: (G:5) (N: 737)
118: (G:5) (N: 948)
119: (G:5) (N: 862)
120: (G:5) (N: 500)
121: (G:5) (N: 275)
122: (G:5) (N: 545)
123: (G:5) (N: 139)
124: (G:5) (N: 459)
125: (G:5) (N: 865)
126: (G:5) (N: 902)
127: (G:5) (N: 180)
128: (G:5) (N: 542)
129: (G:5) (N: 525)
130: (G:5) (N: 871)
131: (G:5) (N: 710)
132: (G:5) (N: 83)
133: (G:5) (N: 940)
134: (G:5) (N: 313)
135: (G:5) (N: 141)
136: (G:5) (N: 562)
137: (G:5) (N: 295)
138: (G:5) (N: 77)
139: (G:5) (N: 946)
140: (G:5) (N: 728)
141: (G:5) (N: 75)
142: (G:5) (N: 88)
143: (G:5) (N: 306)
144: (G:5) (N: 717)
145: (G:5) (N: 935)
146: (G:5) (N: 909)
147: (G:5) (N: 743)
148: (G:5) (N: 280)
149: (G:5) (N: 114)
150: (G:5) (N: 754)
151: (G:5) (N: 920)
152: (G:5) (N: 103)
153: (G:5) (N: 269)
154: (G:5) (N: 536)
155: (G:5) (N: 167)
156: (G:5) (N: 286)
min=157, max=187, New Generation=31
157: (G:6) (N: 49)
158: (G:6) (N: 356)
159: (G:6) (N: 246)
160: (G:6) (N: 604)
161: (G:6) (N: 419)
162: (G:6) (N: 777)
163: (G:6) (N: 689)
164: (G:6) (N: 14)
165: (G:6) (N: 804)
166: (G:6) (N: 625)
167: (G:6) (N: 398)
168: (G:6) (N: 219)
169: (G:6) (N: 632)
170: (G:6) (N: 603)
171: (G:6) (N: 782)
172: (G:6) (N: 241)
173: (G:6) (N: 420)
174: (G:6) (N: 433)
175: (G:6) (N: 228)
176: (G:6) (N: 795)
177: (G:6) (N: 590)
178: (G:6) (N: 206)
179: (G:6) (N: 411)
180: (G:6) (N: 612)
181: (G:6) (N: 817)
182: (G:6) (N: 27)
183: (G:6) (N: 676)
184: (G:6) (N: 786)
185: (G:6) (N: 199)
186: (G:6) (N: 429)
187: (G:6) (N: 347)
min=188, max=191, New Generation=4
188: (G:7) (N: 756)
189: (G:7) (N: 929)
190: (G:7) (N: 856)
191: (G:7) (N: 487)
min=192, max=192, New Generation=1
192: (G:8) (N: 996)
注:这里简单给出了一个状态如何从父状态转换而来;并列出了代数G,也就是与初始状态间的最少步数;N这个数字请无视。
[ 本帖最后由 noski 于 2009-8-1 17:46 编辑 ] 研究一下1x3x3魔方的转法就知道,1x3x3魔方有四种操作,计作R、L、F和B,下面就从最基本的循环出发,一步一步的画出这192个点的状态图。
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一、2步循环RR、LL、FF、BB
1x3x3魔方的一个特性就是R=R',因此,类似RR这种二步的公式,就成了最短的循环。如下图:
在图中,顺着箭头的方向,表示做R,逆着箭头方向,表示做R',那么,图的上半部分就表示状态1和状态2的2步循环:RR。
而经过简化,这个循环转化成下图的一条线段,表示状态1和2之间,可以经过做R来互相转换。
东方帖子23-31楼,乌木和ggglgq讨论了这个最小循环的问题。
这里我们做一个约定,红色表示R,黄色表示L,蓝色表示F,绿色表示B。
[ 本帖最后由 noski 于 2009-7-30 11:50 编辑 ] 二、4步循环RLRL、FBFB
这是个很简单的循环,因为R和L不相关,因此RLRL成了为第二短的循环,这两个循环的图是这样的:
可以看出,从状态1出发,经过RLRL或FBFB,又回到状态1自身。又可以得知,这个方形,就是整个状态图的最基本单元。
东方帖子36-45楼,讨论了这个4步循环的问题,乌木43、44楼给出了每个状态经过R、L、F、B变换之后的状态表。
附:乌木整理的每个状态经R、L、F、B变换之后的状态表
R L F B
初态
1 2 3 4 5
一步
2 1 6 7 8
3 6 1 9 10
4 11 12 1 13
5 14 15 13 1
二步
6 3 2 16 17
7 18 19 2 20
8 21 22 20 2
9 23 24 3 25
10 26 27 25 3
11 4 28 29 30
12 28 4 31 32
13 33 34 5 4
14 5 35 36 37
15 35 5 38 39
三步
16 40 41 6 42
17 43 44 42 6
18 7 45 46 47
19 45 7 48 49
20 50 51 8 7
21 8 52 53 54
22 52 8 55 56
23 9 57 58 59
24 57 9 60 61
25 51 50 10 9
26 10 62 63 64
27 62 10 65 66
28 12 11 67 68
29 69 70 11 71
30 72 73 71 11
31 74 75 12 76
32 77 78 76 12
33 13 42 79 80
34 42 13 81 82
35 15 14 68 67
36 83 84 14 85
37 86 87 85 14
38 88 89 15 90
39 91 92 90 15
四步
40 16 93 94 95
41 93 16 96 97
42 34 33 17 16
43 17 98 99 100
44 98 17 101 102
45 19 18 103 104
46 105 106 18 107
47 108 109 107 18
48 110 111 19 112
49 113 114 112 19
50 20 25 115 116
51 25 20 117 118
52 22 21 104 103
53 119 120 21 121
54 122 123 121 21
55 124 125 22 126
56 127 128 126 22
57 24 23 129 130
58 123 122 23 131
59 120 119 131 23
60 128 127 24 132
61 125 124 132 24
62 27 26 130 129
63 109 108 26 133
64 106 105 133 26
65 114 113 27 134
66 111 110 134 27
67 135 136 28 35
68 104 130 35 28
69 29 100 137 138
70 100 29 139 140
71 141 117 30 29
72 30 99 142 143
73 99 30 144 145
74 31 102 146 147
75 102 31 148 149
76 117 141 32 31
77 32 101 150 151
78 101 32 152 153
79 132 131 33 154
80 134 133 154 33
81 112 107 34 155
82 126 121 155 34
83 36 95 149 148
84 95 36 147 146
85 156 118 37 36
86 37 94 153 152
87 94 37 151 150
88 38 97 140 139
89 97 38 138 137
90 118 156 39 38
91 39 96 145 144
92 96 39 143 142
五步
93 41 40 157 158
94 87 86 40 159
95 84 83 159 40
96 92 91 41 160
97 89 88 160 41
98 44 43 158 157
99 73 72 43 161
100 70 69 161 43
101 78 77 44 162
102 75 74 162 44
103 163 164 45 52
104 68 158 52 45
105 46 64 165 166
106 64 46 167 168
107 169 81 47 46
108 47 63 170 171
109 63 47 172 173
110 48 66 174 175
111 66 48 176 177
112 81 169 49 48
113 49 65 178 179
114 65 49 180 181
115 160 159 50 182
116 162 161 182 50
117 76 71 51 183
118 90 85 183 51
119 53 59 177 176
120 59 53 175 174
121 184 82 54 53
122 54 58 181 180
123 58 54 179 178
124 55 61 168 167
125 61 55 166 165
126 82 184 56 55
127 56 60 173 172
128 60 56 171 170
129 164 163 57 62
130 158 68 62 57
131 185 79 59 58
132 79 185 61 60
133 186 80 64 63
134 80 186 66 65
135 67 157 183 185
136 157 67 184 169
137 165 179 69 89
138 177 172 89 69
139 174 171 70 88
140 168 180 88 70
141 71 76 187 164
142 170 175 72 92
143 181 167 92 72
144 178 166 73 91
145 173 176 91 73
146 167 181 74 84
147 175 170 84 74
148 176 173 75 83
149 166 178 83 75
150 172 177 77 87
151 179 165 87 77
152 180 168 78 86
153 171 174 86 78
154 182 183 80 79
155 183 182 82 81
156 85 90 164 187
六步
157 136 135 93 98
158 130 104 98 93
159 188 115 95 94
160 115 188 97 96
161 189 116 100 99
162 116 189 102 101
163 103 129 189 188
164 129 103 156 141
165 137 151 105 125
166 149 144 125 105
167 146 143 106 124
168 140 152 124 106
169 107 112 190 136
170 142 147 108 128
171 153 139 128 108
172 150 138 109 127
173 145 148 127 109
174 139 153 110 120
175 147 142 120 110
176 148 145 111 119
177 138 150 119 111
178 144 149 113 123
179 151 137 123 113
180 152 140 114 122
181 143 146 122 114
182 154 155 116 115
183 155 154 118 117
184 121 126 136 190
185 131 132 191 135
186 133 134 135 191
187 190 191 141 156
七步
188 159 160 192 163
189 161 162 163 192
190 187 192 169 184
191 192 187 185 186
八步
192 191 190 188 189
[ 本帖最后由 noski 于 2009-7-30 11:56 编辑 ] 三、8步循环(RLFB)2
由于从每个状态出发,都有R、L、F、B四条线路,因此,可以将上图的方形一个一个连接起来,连接起来的效果是这样的:
很神奇的发现,四个方形首尾相接,正好组成了一个循环。无疑,这也将是状态图的基本结构之一。
东方帖子46-49楼,讨论了这个8步循环的问题。
[ 本帖最后由 noski 于 2009-7-30 11:56 编辑 ] 四、12步循环(RLF)4
状态图都是由上一步中的8步循环组成,那么这些方块向上下方向再伸展,会是一个什么样的状态呢?
东方帖子50-59楼,乌木通过画图,找出了这个大循环!
那么,如何表示这个大循环呢?在这里,做一个变换,将步骤二中的4步循环正方形进行扭曲,这样,步骤三中的8步循环,就扭曲成了下图:
这样,会很神奇的发现,原来步骤四中的12步循环,只不过是四个这样的扭曲的十字首尾相连,如图:
东方帖子的75、80楼,讨论了这个图。乌木提出这个图要继续向第三维画。
附:从步骤三到步骤四,状态图变换的思路
这是一个降维的过程吗?
[ 本帖最后由 noski 于 2009-7-30 12:31 编辑 ] 五、16步循环(FLRF RFBR)2,最远态!
历史总是一次次重演,将这个八角星图案向上下扩展,竟和步骤四中乌木所做的扩展如此的类似。
这个图,也就是我在东方帖子中82楼的状态图。当然,它还远不是最终形态,还有诸多的“立交桥”,诸多的点没有画出来。
同时,在这个图中,可以看出一个有趣的现象,就是所谓的“扰动”,魔方的状态总在奇和偶两个状态间变换。
这里还要特别感谢乌木在60到69楼对最远态公式的探讨,给出了从初态1到终态192的全部128个公式。
ggglgq在85-90楼,对这个包含最远态的状态图进行了评说,似乎与循环变换理论有关。
还有一个有意思的地方,在该楼的92楼,我写出了如何根据这个图计算从1到192之间的公式的个数,正好验证了乌木的128这个结果。
[ 本帖最后由 noski 于 2009-7-30 11:57 编辑 ] 六、继续折叠,让人发疯的扭曲!
从步骤四可以看出,可以将一个直线循环扭曲成一个环,从而可以将一个更大的环折叠成一条直线循环。
那么,步骤五这个大环,就折叠成了下图这个样子(图太大了-_-...这个图与步骤五的图等价,谁有兴趣可以把这个图向水平方向伸展):
到这个地步,基本认为,这条路走不下去了。因为一个简单的验证公式:(RF)6,在哪里?
[ 本帖最后由 noski 于 2009-7-30 11:58 编辑 ] 七、换个思路,从数字出发,分成48组
再次对步骤五的状态图进行思考,可以发现,这些状态分为奇状态和偶状态,都是四个数字一组的。每四个数字对应图中一个八角星的中心。
那么对全部192个状态进行分组,共可以分成192/4=48个状态组。只要明白这48个状态组互相之间的结构,与步骤五的状态图一比较,也就明白了1x3x3魔方的状态图的结构。
因此,将这48个状态组列表如下:
表、48分组
组编号 四个魔方状态 相邻组编号 状态组奇偶性
1 1 6 42 13 2,3,8,15 偶
2 2 3 25 20 1,4,5,22 奇
3 4 28 35 5 1,6,7,25 奇
4 7 45 52 8 2,9,10,32 偶
5 9 57 62 10 2,11,12,32 偶
6 11 12 76 71 3,13,14,38 偶
7 14 15 90 85 3,16,17,38 偶
8 16 93 98 17 1,18,19,25 奇
9 18 19 112 107 4,20,21,31 奇
10 21 22 126 121 4,23,24,31 奇
11 23 24 132 131 5,23,24,30 奇
12 26 27 134 133 5,20,21,30 奇
13 29 100 99 30 6,19,26,27 奇
14 31 102 101 32 6,19,28,29 奇
15 33 34 155 154 1,22,30,31 奇
16 36 95 94 37 7,18,28,29 奇
17 38 97 96 39 7,18,26,27 奇
18 40 41 160 159 8,16,17,37 偶
19 43 44 162 161 8,13,14,37 偶
20 46 64 63 47 9,12,33,34 偶
21 48 66 65 49 9,12,35,36 偶
22 50 51 183 182 2,15,37,38 偶
23 53 59 58 54 10,11,35,36 偶
24 55 61 60 56 10,11,33,34 偶
25 67 157 158 68 3,8,32,39 偶
26 69 70 88 89 13,17,40,41 偶
27 72 73 91 92 13,17,42,43 偶
28 74 75 83 84 14,16,42,43 偶
29 77 78 86 87 14,16,40,41 偶
30 79 185 186 80 11,12,15,39 偶
31 81 169 184 82 9,10,15,39 偶
32 103 129 130 104 4,5,25,44 奇
33 105 106 124 125 20,24,45,46 奇
34 108 109 127 128 20,24,47,48 奇
35 110 111 119 120 21,23,47,48 奇
36 113 114 122 123 21,23,45,46 奇
37 115 188 189 116 18,19,22,44 奇
38 117 141 156 118 6,7,22,44 奇
39 135 136 190 191 25,30,31,44 奇
40 137 151 150 138 26,29,45,48 奇
41 139 153 152 140 26,29,46,47 奇
42 142 147 146 143 27,28,46,47 奇
43 144 149 148 145 27,28,45,48 奇
44 163 164 187 192 32,37,38,39 偶
45 165 179 178 166 33,36,40,43 偶
46 167 181 180 168 33,36,41,42 偶
47 170 175 174 171 34,35,41,42 偶
48 172 177 176 173 34,35,40,43 偶
注意:这个表中的每个分组,都对应于步骤五中的一个八角星,也对应于步骤六中的一个方块。
这样,步骤五的图就变成了如下这个样子:
同理,从上图可以看出,组1、8、25、3组成了一个环,组1、15、22、2也组成了一个环,这些环,就对应于步骤六中的一个十字形。步骤六的图经过分组简化,变成了下图,与步骤五的图的关系一目了然:
[ 本帖最后由 noski 于 2009-7-30 11:58 编辑 ] 八、继续分组,只有24组!
从步骤七最后的图可以看出,48分组中,每四个组组成了一个环,那么,将这些环再分一次组,进而更加简化。因为我们的目的是为了将这些状态首尾相接,在不停的简化、扩展之后,要把这些状态“合围”,最终才能显示出全部状态之间的关系!
于是,将48分组中,能够组成一个环的四个小组,再分为一大组,这样,魔方的状态图,最终简化为这24个大组之间的拓扑关系!
表、24大组
大组编号 四个小组(48分组) 相邻的大组 另一极
1 1 2 22 15 2,3,14,17 18
2 1 3 25 8 1,4,18,9 17
3 2 4 32 5 1,6,18,5 14
4 3 6 38 7 2,7,17,8 9
5 4 9 31 10 3,10,14,11 6
6 5 11 30 12 5
7 6 13 19 14 4,12,9,13 8
8 7 16 18 17 7
9 8 18 37 19 4
10 9 20 12 21 5,15,6,16 11
11 10 23 11 24 10
12 13 26 17 27 7,19,8,20 13
13 14 28 16 29 12
14 15 30 39 31 3
15 20 33 24 34 10,21,11,22 16
16 21 35 23 36 15
17 22 37 44 38 2
18 25 32 44 39 1
19 26 40 29 41 12,23,13,24 20
20 27 42 28 43 19
21 33 45 36 46 15,23,16,24 22
22 34 47 35 48 21
23 40 45 43 48 19,21,20,22 24
24 41 46 42 47 23
注:在这里,另一极的意思是,比如1大组与2、3、14、17大组相邻,那么另一极的18大组,也与2、3、14、17大组相邻。
分析这24个大组,发现它们之间的基本关系如下图,为一个正八面体:
神奇的地方在哪里呢?
1x3x3魔方的初状态1,在48分组中分在第1组,24分组中分在第1大组;最远状态192,在48分组中分在第44组,24分组中分在第18大组;
那么,一个状态和它的最远态,正好处于上图中的正八面体的两个顶点上!有兴趣大家可以验证一下上图,比如第2大组中的状态的最远态,处于第17大组中。
要是把这24个大组都画在正八面体中,要在这个正八面体中重叠4次!它是一个高维空间的东西,这便是1x3x3魔方的192个状态图的最终形态!大家也叫它“解集球”。(我想到了2x2x2平面魔方的24个状态图,被ggglgq画在一个正八面体中,千变万化的魔方中为什么总是这几个数字-_-!)
这个高维空间的正八面体(或许成了正X面体),我画不出来,希望大家讨论讨论,给出一个更好的描述。
下面就是1x3x3魔方这24个大的状态分组之间的关系图:
很对称,像一个摩天轮,呵呵!
看到这个图,也许大家会有疑问:1大组的最远态,在它相对的18大组中,在图中,走两步就到了;而1大组和23大组,在图中要走6步才能到,为什么呢?
这个问题与组与组之间的联系有关,不能单纯的按图中的连线来计算步数。没有细看,大家讨论讨论:)
[ 本帖最后由 noski 于 2009-7-30 11:58 编辑 ] 九、结果,结果?
从步骤一到步骤八,得到了这么多的图和结论,然而,最终的状态图,还得读者发挥自己的想象,给自己一个完美的答案。
另外,步骤六的大图经过步骤七的简化之后,直观了许多,从中可以看出(LF)6这个循环了!如图:
这个结构,为什么一次又一次的似曾相识?四个元素构成一个环,四个环又构成一个大环,莫非,子子孙孙无穷匮也。。
====================================================
再次更新:
对于1x3x3魔方的最后的24个大组之间的关系,楼上的“摩天轮”图并不能反映出它们之间真实的结构。
为此,画了下面这个动态图,有助于理解在正八面体上“重叠四次”的结构。
至于其真正的结构是什么样子,还得大家继续想象~
注意这里:
本贴上面的棋盘图(LF)6的12步循环,所经过的12个48小组号已在图中标出,那么经过整理,(LF)6所经过的24分组号为:
18 - 17 - 4 - 7 - 13 - 19 - 24 - 21 - 15 - 11 - 6 - 14 - 18
从动态图中可发现,恰好是右下角,从18出发,在三角形中转了四圈,又回到了18!至此,(LF)6这个12步循环,终于可以直观的表示出来了,这个循环反映了1x3x3魔方最顶层的循环关系。
同样原理,稍微调整一下“摩天轮”图中等价数字的位置,就可以发现,原来(LF)6这种循环,恰好是走了半圈,如下图:
看来,像(LF)6这样的循环还是很值得研究一下的:)
[ 本帖最后由 noski 于 2009-8-1 17:30 编辑 ]