[原创]一般魔方扰动产生的原理及证明和应用

邱志红 发表于 2005-11-10 08:52:56

一般魔方扰动产生的原理及证明和应用
 

 作者：邱志红


 前言


 大家想必都读过pengw大师的《N阶正方体色子阵魔方状态变换定律:第四版》。是否对扰动有了初步的了解了呢？现在知道为什么三阶魔方的一个面心块不可以原地独立转动90度，但可以原地独立转动180度了吧。也知道为什么用三交换是无法解决四阶魔方两个侧棱对换问题的原因了吧。


但一般的魔方呢？比如五魔方是否也存在类似的扰动？如果存在，那么存在的条件又是什么呢？这就是我在这里要探讨的问题。


 我将对他提出的扰动加以深化和推广，让更多人能够理解和接受并运用。





 三阶魔方扰动产生的原理


 之前介绍一点，魔方最基本的交换是三交换。即三个同簇的块位置三交换。


这里只以四个角块为例讲解三阶魔方的扰动问题，如下图，分别将它们标上1，2，3，4。看看利用三交换会发生什么？


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利用三交换能使四个角依次替换吗？答案是不能。看上面右图，发现角块1和4的位置要是对换一下就对了，但实际上不论怎么使用三交换都是不可能换过来的。在试的过程中你可能会遇到1和4位置需要对换，2和1的位置需要对换等等。其实用群论里面对称的观点，这些问题都可以归结到角块1和4的位置对换的问题，只是角块标号不同而已。为了以后描述的方便，也为了节约空间。其实可以用一串数的形式来描述该问题。


角块1，2，3，4的这种原始状态就可以记为1234。注意它的首尾是连接起来的构成一个环。然后这四个元素的任意三个可以进行正或逆时针的三交换。看看1，2，3进行顺时针三交换就是2314，也就是上面右图反映的情况。


这样扰动的问题就成了一个纯数字游戏了，三阶魔方是否存在扰动就看四个数里任意三个数字依次替换能否从1234转化到2341。结果是不能。你可能要说1，2，3进行依次替换不行，那么试试别的或许就行了。那就试试1，2，4的依次替换吧。结果是：1234—→2431。要是3和4换一下就好了。但实际就不可能，上面已经提到对称性了，所以只要验证一种情况就可以了。假如最后得到的是相邻的两个需要对换，那就是存在扰动，很明显三阶魔方就存在扰动。


同样的道理对棱块也一样存在扰动。只要是四个进行三交换就存在扰动。


这就是三阶魔方扰动产生的原理。





 扰动理论的推广及证明


看看五魔方吧，它的一个层有五个角块和五个棱块。现在只讨论角块，棱块道理是一样的。


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用上面的方法就可以将五个角块的初始状态记为12345。现在就来看看用三交换能否将它转化为23451。


过程：12345→23145→23451。


先1，2，3位置依次替换，后1，4，5位置依次替换。结果竟然成功了从12345—→23451了。这说明五魔方就不存在扰动了，只用三交换就可以可以解决它。


推广：一般魔方的一个层顶面的边数假设为t，那么就存在t个位置可以依次替换的小块，而且至少是一组，可能是多组。


 当t=2n时，魔方存在扰动。n≥2，且n∈Z。


 当t=2n+1时，魔方不存在扰动。n≥1，且n∈Z。


下面就来证明该命题了，还是采用一串数来记录小块的状态。我采用的是数学归纳法来证明的。





①．当t=2n时，魔方某一层的一簇位置可以替换的小块的初始状态就是1 2 3……2n-1 2n.


 ⑴初值，当n =2时，t=4。只能1234—→2314，是存在扰动的。


 ㈡假设，假设n=k时成立，那么只能1 2 3……2k-1 2k —→ 2 3 4……2k-1 1 2k。是存在扰动的。


㈢当n=k+1时，利用上面假设的结果1 2 3……2k-1 2k —→ 2 3 4……2k-1 1 2k。


那么1 2 3……2k-1 2k 2k+1 2k+2 —→ 2 3 4……2k-1 1 2k 2k+1 2k+2—→2 3 4……2k-1 2k 2k+1 1 2(k+1)。


 发现n=k+1时，结论也成立，存在扰动。








②．当t=2n+1时，魔方某一层的一簇位置可以替换的小块的初始状态就是1 2 3……2n 2n+1.


 ⑴初值，当n =1时，t=3。只能123—→231，是不存在扰动的。


 ㈡假设，假设n=k时成立，那么只能1 2 3……2k 2k+1 —→ 2 3 4……2k 2k+1 1。是不存在扰动的。


㈢当n=k+1时，利用上面假设的结果1 2 3……2k 2k+1 —→ 2 3 4……2k 2k+1 1。


那么1 2 3……2k-1 2k+1 2k+2 2k+3 —→ 2 3 4……2k 2k+1 1 2k+2 2k+3—→2 3 4……2k 2k+1 2(k+1) 2(k+1)+1 1。


 发现n=k+1时，结论也成立，不存在扰动。1 2 3……2k 2k+1 —→ 2 3 4……2k 2k+1 1


证明完毕。





注意：在该串数中任意插入几项，不会影响以前的变换。但会影响整串数的外在形式和整体性质。原因很简单，因为三交换是这串数中任意三个交换，某些数完全可以不参与交换，增加的那些项就相当于不参与变换的项。所以我在变换1 2 3……2k 2k+1 —→ 2 3 4……2k 2k+1 1两边的最后都插入2k+2和2k+3，是不会影响之前的变换的。而插入奇数个项虽然不影响之前的变换但很显然改变了该串数的整体性质了。由扰动变为无扰动，或者相反。


另外上面两种情况证明的最后一个变换都是最后三项三交换。形式也略有改动。





 扰动理论的通俗证明


上面是从理论的角度来分析和证明的。其实还有一个简单的方法可以证明该问题，就是递推的方法。


当t=2n时，该串数为1 2 3 4 5 6 7 ……2n-1 2n。


首先123进行替换得1 2 3 4 5 6 7 ……2n-1 2n—→2 3 1 4 5 6 7……2n-1 2n。


然后145进行替换得2 3 1 4 5 6 7……2n-1 2n—→2 3 4 5 1 6 7……2n-1 2n。


再是167进行替换得2 3 4 5 1 6 7……2n-1 2n—→2 3 4 5 6 7 1……2n-1 2n。


………………………


发现就是“1”在移动，每次向后移动两位，同时把被跨过的的两项各向前挤一位。而且每次都落在奇数的后面，由此递推得它最后一次会落在2n-1后面。


那么整个变换过程就为1 2 3 4 5 6 7 ……2n-1 2n—→2 3 4 5 6 7……2n-1 1 2n。老问题，1和2n的位置换不过来，就存在扰动了需要额外转动一个单位来解决。





而当t=2n+1时，情况也是一样的。“1”还是落在奇数后面，最后一次就落在2n+1的后面了。


整个变换过程就为1 2 3 4 5 6 7 ……2n 2n+1—→2 3 4 5 6 7……2n 2n+1 1。再一看发现这2n+1个数轮换了。能轮换一次就可以轮换第二次，第三次……，同样也能反着轮换。这样就不存在扰动了，用三交换就可以解决了。


 说白了，扰动就是一场数字游戏，并不是很深奥的东西。





 扰动理论的具体应用


现在来看看扰动理论的应用。推论1：五魔方的面块可以原地独立转动一个单位（72度）。


实现的方法很容易，先将五魔方的一个层转动一个单位，然后依照证明里面的方法运用三交换对角块和棱块各进行轮换一次使角块和棱块又复原就可以。


但同样的事情在每个层都为四边的奇数阶立方体魔方里面就做不到。因为将表层转动一个单位以后，无法通过三交换对角块和棱块各进行轮换一次使角块和棱块又复原。但面心块转动两个单位(180度)还是可以的。也是可以用上面证明过程中的方法可以证明的：


1 2 3 4 5 6 7 ……2n-1 2n—→2 3 4 5 6 7……2n-1 1 2n—→3 4 5 6 7……2n-1 1 2 2n —→3 4 5 6 7……2n-1 2n 1 2。


就是把“2”再按上面的方法做一次。最后把1，2，2n做一次三交换就可以了，得到的就是最右边的结果。令n=2。就是1234—→3412。也就是立方体魔方的情况。


在一般的魔方里面如果再说独立转动90度就不准确了，说独立转动一个单位更加合适。


再看看下面的魔方Shaped Cube：


<img src="attachments/dvbbs/2005-11/200511915354080679.gif" border="0" onclick="zoom(this)" onload="if(this.width>document.body.clientWidth*0.5) {this.resized=true;this.width=document.body.clientWidth*0.5;this.style.cursor='pointer';} else {this.onclick=null}" alt="" />
它是最能反映该问题的魔方了。其中顶（底）面边数为奇数的都不存在扰动，而边数为偶数的都存在扰动。所以在玩这种魔方的时候注意消除扰动哦。


也和三阶魔方一样，偶数边的魔方面心块虽然不能独立转动一个单位，但都可以转动两个单位。


而且注意，扰动不但对表面的层有作用，同时对中间层也同样起作用。四阶魔方两棱对换问题就是明证。


又来了一个问题。既然扰动对中间层也起作用，那为什么三阶的中间层转动90度又可以复原呢？这个问题很简单，三阶魔方中间层转动90度等价于夹该中间层的两个表层各转动一个单位(90度)。实际上是进行了两次轮换，上面证明了这是可以复原的，是无扰动的。但四阶魔方就不行了。它的一个中间层的转动总是等价于三个层各自的轮换，进行了奇数次轮换，是会产生扰动的。


凡此等等，就不多讲了。





[此贴子已经被作者于2005-11-10 8:54:02编辑过]

pengw 发表于 2005-11-10 11:24:52

一个簇中,仅有二个块互换了位置,这是扰动的最简形式,一般形式是,当一个簇的偶环数为奇数时,此簇为扰动簇,这种情况再用三交换去分解,最后的结果就是二个块互换位置,扰动的本质是一簇的任意四个块发进行了轮换,这就是所谓的结构定义的属性,其成因极其简单,但如何将簇间变换(扰动)与簇内变换结合到一个式子中,将是一个极俱挑战的奋斗目标.离开扰动方程描述一个状态是难以想象的,尚不知群论自身如何表达扰动. 
[此贴子已经被作者于2005-11-10 11:39:39编辑过]

邱志红 发表于 2005-11-10 11:53:00

不好意思.我是学数学的,习惯将问题推广到n取无穷大的情况.这样就更能反映一般规律.也更通用了.
我讨论的是一个层有n个位置可以相互替代的小块的情况.Shaped Cube就是最好的范例了.玩过五魔方的人是否很奇怪不论怎样打乱都只用三交换就可以复原,因为它的一个层里位置可以相互替代的小块是奇数个(5个).用文中简单的推理方法就发现可以用三交换来替换得到5轮换.
但在一层只有偶数个(4个)位置可以相互替代的小块的立方体魔方这就行不通.也是用文中简单的推理方法就可以得到.
扰动其实从所有魔方全局的高度来看就是一个关于奇偶的数学游戏.

清道夫2 发表于 2005-11-10 12:24:24

PENGW的N阶定律为其后的其它相关理论研讨做出了开创性的铺垫,N阶定律提出的一些独一无二的概念如簇,扰动,色向和等,被其它后来的理论大量引用与推广,就状态描述而言,N阶定律之后的理论匀没有脱离N阶定律的原创概念,N阶定律描述的准确性更是不容置疑.
对N阶正方体色子阵魔方:
"一式复原法"采用的核心思路,最早可见于pengw基于N阶定律提出的定律复原法
"一式复原法"严格地讲,应该是簇内变换的"一式复原法",此方法尚不能以数学形式处理扰动关系,因而无法复原扰动簇是"一式复原法"的一个严重隐患.
"一式复原法"不是以一个魔方的初态为代入量进行运算处理,因而一式复原法严格地讲应该是"单基态簇一式复原法"
"一式复原法"尚没有声明对有色向簇与无色向簇处理方法区别,而这种区别是显然存在的.
"一式复原法"如何将扰动方程结合进来,是最终成功的关键,而不仅仅一种数学游戏.
如果将扰动关系简单地视为奇偶游戏,就请邱兄弟用非扰动方法计算一下任意阶魔方状态数,预言一下三阶最大公式循环周期.
当前N阶定律的诸多概念被邱兄弟大量移植到异形魔方上,令人欣慰,由此证明N阶定律开创性描述的应用价值.
对邱兄大作的一些看法,只代表个人意见,还望笑纳. 
[此贴子已经被作者于2005-11-10 13:53:29编辑过]

邱志红 发表于 2005-11-10 14:05:10

我也声明一点:我的一式法重点在于将各种魔方的解法归纳成一种公式模式----即一式法经典的那8下.主要目的是用统一的方法得到一般魔方的三交换.簇内三交换是解一般魔方共同的必由之路.
重点是:归纳和统一.至于最短复原的问题,不是我关心的内容.
扰动只是根据奇偶及实际情况判断,然后决定是否要额外添加的步骤,是能很容易办到的,是对魔方状态的一种处理方法,是独立于公式以外的东西.扰动只是一种关系,并不是实际的转动步骤,是对公式的指导而不是一种公式.
打个不恰当的比方:假如把魔方的转动步骤比喻成构成魔方还原的材料,那么扰动及扰动的消除就是工具了.工具最后是不会合到成品里面去的.工具还是工具,而材料的多种不同组合就构成了各种各样的成品.
最后一点:可能该方法的名字取得让人误解了,与具体得内容有点不太相符.那就学大烟头的,改名叫"一般魔方基本公式的统一产生方法"好了.

爱因斯坦 发表于 2005-11-10 14:40:07

既然我能够指出square one的扰动秘密,我自认为我对扰动问题就有发言权.
那我就来说两句.pengw发现扰动只是偶然发现了一个特殊规律,但可惜没有进一步推广成一般规律.一直都局限于立方体魔方中,也就是邱兄所说的某一个层是4边,且有4个块可以互相替代的特殊情况,可惜.
真正具有广泛指导意义的还是邱兄推广得到的一般扰动.它可以让人知道玩什么魔方需要注意扰动问题,玩什么魔方不需要注意扰动问题(因为根本就没有扰动).就用文中判断奇偶的方法就可以了.
另外扰动也不是什么洪水猛兽,很容易通过简单的方法就消除了.不必大惊小怪的.
最后,想请教一下pengw扰动大师:我关于square one里面的特殊扰动的论述是否准确,希望pengw大师不吝赐教.
[此贴子已经被作者于2005-11-10 14:50:34编辑过]

清道夫2 发表于 2005-11-10 15:45:43

0.你凭什么说忍冬是偶然发现,你就是必然发现?你搞清楚扰动方程的由来吗?你就连沿用的术语都来自忍冬的N阶定律,由此说来你在抄袭?或者是在N阶定律的指导下,在其它异形体上添加了一些微不足道的细节?你所谓的异形体的复杂性高于正方体色子阵魔方吗?你知道是谁的理论是你思路的基石?你的扰动关系的数学表达是什么样?
照我的理解,你只是将N阶定律略加改写,以适应更简单的异形魔方而已,哪种魔方更复杂不是一目了然?忍冬将最复杂的魔方都处理了,余的简单异形体还要他亲自动手?
1.我觉的忍冬好象只对正方体色子魔方感兴趣,其它乱其八糟的结构只需推广推广就行了,这些问题有挑战性吗?
2.邱兄弟做了N阶定律的大量推广衍生工作,但几乎你所有关于异形魔方的思想都能在N阶定律中找到痕迹,这是巧合吗?你总不能将曾经指导过你的东西说的一无是处吧,况且你的论文中几乎处处都有别人思想的痕迹.
3.至于归纳魔方复原的方法,忍冬不是早于你半年以上就将基于N阶定律的"定律复原法"说的很清楚了?并被你在"一式复原法"中彻底沿用?
4.能不能用你的新理论表达一下公式循环原理?
5.能不能用你的新理论计算一次N阶正方体色子阵魔方的状态数,并预言各阶魔方的最大公式循环周期?
6.能不能由任何人随意指定一个状态,你用"一式法"从头到尾解给大家看看?
任何被人理解了的东西都无须大惊小怪,但在此以前,你为什么没有想出来?如果要说有什么问题的话,你理论上的问题就前面几点就够你费心了,如果不能解决上楼提的几个问题,你的一式复原法如何能够复原魔方?我再问几个问题:
1."一式法"与已有的复原方法有什么本质不同?
2.你认为你的理论原创性体现在什么地方?
3.你的复原方法与手工法相比有什么优势?
 如果就连最典型的魔方的问题都没有解决,又匆忙推广到几乎无限量的异形体,又有何意义?邱兄弟以数学为工作对象,我们则以数学为工具处理实体问题,魔方是一个实体,总不能为了数学的美丽而牺牲物理性质吧?况且能找到一个魔方通用构造的规则描述吗?
以上仅代表我个人的观点,无论对错,希不要介意.
[此贴子已经被作者于2005-11-10 17:55:04编辑过]

大烟头 发表于 2005-11-10 20:53:27

切莫为原创之事争论，我们要谦虚一点，魔方很小，研究的人很多，说不定老外正在偷笑我们。
玩理论的最好能心平气和地一起交流。说实在的，能把自己所知道的知识写出来，对于魔友来讲多少都有帮助的。我也爱看这样原创的文章，但是不是原创的理论，这就难讲了，建议大家多看看国外的一些资料。
听不进去就当我是自言自语好了。

大烟头 发表于 2005-11-10 21:17:57

相信你们的理论都是自己想出来的，但不能说是第一个发现的。
就象老鲁发明魔方时，一个日本人也发明出相似的东西，都是原创的，呵，只是这日本人运气不好。
我们的魔友天亮，很早就独自制作出６轴八面体魔方，后来到了他上网时发现这魔方在国外已经生产出售了，我也不知是誰发明的早。
总之，能独自“原创”出这些东西，都是件了不起的事。I 服了 You 了。希望我们能相互取长补短、共同前进，乃魔方吧幸事也。

清道夫2 发表于 2005-11-10 22:52:12

1.只是对一些玩家在取的一定程度的认识后,对前辈的理论所表现出的轻狂及不负责任的语言感到遗憾,之所以有此反应,是因为这些玩家已经不是第一次这样出言了.
2.其实只要愿意,对新发表的论文找出点问题并不是困难的事情,数量跟质量是不等同的.
3.楼主是发现了不同魔方扰动的一些共性,但远没有达到用其专业工具进行定量,定性,高度概括地表达的程度,更没有为N阶定律准备好任何反证,反而,为求高大全而暴露出很多问题,用这些尚不成熟甚至是毛病百出的东西去急于否定前辈,实在令人费解.
4.一式法的核心思想是pengw原创的"定律复原法",楼主极力倡导的"一式法"在扰动关系方面存在尚未克服的严重问题,一句话,一式法尚不能用来复原魔方,就更谈不上任何实用层面的价值.楼主对N阶定律中扰动关系的轻视态度,是导至其"一式法"存在严重问题的根本原因.
5.无须将范围扯的太宽,"一式法"即然称针对所有结构的魔方,那么只须用一式法(即然楼主急于否定前辈,其所用的方法想必与N阶定律截然不同)计算正方体色子阵魔方的状态数,预言公式循环周期计算方法,计算各阶魔方的最大公式循环周期,即可对一式法的进行有力的检验.楼主是否认真做过这些验正工作?
6.不要试图在各种魔方之间建立统一理论,这是不现实的,数学上也是不可行的,描述上更是不可能的.在标准的魔方上完成高度统一,高度自足,获的验证的魔方理论显然并不是一件简单的事. 
[此贴子已经被作者于2005-11-10 23:35:16编辑过]

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