11.公式变换集合的相关运算(二探)
<P><b>11.公式变换集合的相关运算(二探)</b> </P><P> 让我们看看前一个章节的 c 问题，为了计算组合公式的变换集合，我们写出了七八行字，非常繁琐，能否根据两个公式的变换集合，直接得出组合公式的变换集合呢，我们一起来讨论一下。</P>
<P> 为了计算变换集合我们必须清楚每一个块位置上的块是如何变化的，当一个块位置发生变换，必定最多牵涉到三个块发生变化。 </P>
<P> 考察一个变换因子Bm>Bn，其中Bm称为变化因子的<FONT color=navy>前端</FONT>，Bn称为<FONT color=navy>后端。</FONT></P>
<P> <FONT color=navy>完整变换描述：</FONT>设有两个变换因子Bm>Bn和Bn>Bp，注意到Bn相同，简写为Bm>Bn>Bp，那么对于Bn块位置则清楚地表述了是什么地方的块到Bn块位置来，以及Bn块位置的块到什么地方去，所以我们称Bm>Bn>Bp为Bn块位置<FONT color=black>的完整变换描述</FONT><FONT color=navy>。</FONT><FONT color=black>其中Bm称为Bn块位置的前端，Bn称为<FONT color=navy>本端</FONT>，Bp称为Bn块位置的后端。</FONT></P>
<P><FONT color=black> 对于一个公式的变换集合，我们可以针对每一个块位置，改写成完整变换描述形式。例如：变换集合 {c1>c2>c7,c5>c6,c4,c8,c3}可改写为 {c7>c1>c2,c1>c2>c7,c3>c3>c3,c4>c4>c4,c6>c5>c6,c5>c6>c5,c2>c7>c1,c8>c8>c8}</FONT></P>
<P> 从这个完整变换描述形式的变换集合可以看出：所有完整变换描述的前端都是唯一的，本端都是唯一的，后端都是唯一的。</P>
<P> <FONT color=navy>完整变换定理：</FONT>设有两个公式A、B，包含了Bn块位置的完整变换描述分别为Ba1>Bn>Ba2，Bb1>Bn>Bb2，那么公式A+B将包含变换因子Ba1>Bb2。</P>
<P> 证明：建立竖式求可得到的A+B相应的变换。(x为未知块位置)</P>
<P> <FONT color=#008000>a1 a2 b1 b2 n
</FONT><FONT color=#008000> {Ba1>Bn>Ba2}
--------------------------------------------
x n b1 b2 a1
{Bb1>Bn>Bb2}
--------------------------------------------
x n x a1 b1</FONT></P>
<P><FONT color=#008000> </FONT><FONT color=black> 将得到以下结果：Ba1>Bb2，Ba2>x，Bb1>Bn>Ba2，Bb2>x，去除掉与x相关的项得到两个变换元素Ba1>Bb2,Bb1>Bn>Ba2</FONT><FONT color=navy>。</FONT></P>
<P><FONT color=black> 特别注意Bb1>Bn>Ba2的结果，它不是一个有效的结果(这个问题也困扰了我一段时间)，不是有效的原因在于：1. </FONT><FONT color=black>Bn>Ba2是公式A的结果，是先执行得到的，我们可以知道Bn块位置的块到了Ba2块位置，但是在这之后公式B将Ba2块位置的块移动到了何处却不清楚。 2. Bb1>Bn是公式B的结果，是后执行得到的，我们可以知道Bb1块位置的块到了Bn块位置，但是在这之前公式A将何处的块移动到了Bb1块位置上去却不清楚。</FONT></P>
<P> 相反<b>Ba1>Bb2</b>却是一个确实的结果，公式A解释了是何处的块位置移动到了Bn块位置(答案是Ba1)，公式B解释了Bn块位置的块移动到了何处去(答案是Bb2)，在这里<b>作为本端的Bn其实充当了一个中间媒介作用</b>。</P>
<P> 注意在魔方的公式运算里不符合交换律，即A+B <> B+A。这里B+A将得到结果Bb1>Ba2。(但好像符合结合律，即(A+B)+C = A+(B+C)，未证明)</P>
<P> <b>问题a</b>：已知两个公式A、B的变换集合分别为{c1>c2>c4,c6>c8},{c4>c3,c6>c7>c1},求解A+B的变换集合。</P>
<P> 这里我们对本端进行考察，首先写出两个公式的完整变换描述形式(如果足够熟练，应该可以省略这个步骤)。</P>
<P><FONT color=green> {c4>c1>c2,c1>c2>c4,c3>c3>c3,c2>c4>c1,c5>c5>c5,c8>c6>c8,c7>c7>c7,c6>c8>c6}
{c7>c1>c6,c2>c2>c2,c4>c3>c4,c3>c4>c3,c5>c5>c5,c1>c6>c7,c6>c7>c1,c8>c8>c8}
------------------------------------------------------------------------------------------------</FONT></P>
<P> 然后写出结果来</P>
<P> <FONT color=green> {c4>c1>c2,c1>c2>c4,c3>c3>c3,c2>c4>c1,c5>c5>c5,c8>c6>c8,c7>c7>c7,c6>c8>c6}
{c7>c1>c6,c2>c2>c2,c4>c3>c4,c3>c4>c3,c5>c5>c5,c1>c6>c7,c6>c7>c1,c8>c8>c8}
------------------------------------------------------------------------------------------------
{c4>c6, c1>c2, c3>c4, c2>c3, c5>c5, c8>c7, c7>c1, c6>c8}</FONT></P>
<P> 将结果进行化简并排序，得到
<FONT color=green> {c1>c2>c3>c4>c6>c8>c7,c5}</FONT></P>
<P> <b>问题b</b>：已知四个公式A、B、C和D的变换集合分别为{c1>c2>c4},{c4>c3},{c5>c6>c3>c2},{c8>c7,c4>c5>c1}求解A+B+C+D的变换集合。</P>
<P> 其实考察前端比考察本端可能更为方便，这里我们对前端进行考察，首先写出四个公式的完整变换描述形式，省略完整变换描述形式。</P>
<P><FONT face=宋体 color=green> A{c1>c2>c4}
B{c4>c3}
C{c5>c6>c3>c2}
D{c8>c7,c4>c5>c1}
-------------------------</FONT></P>
<P> 以c1作为前端考察公式A，得到c1>c2，以c2作为前端考察公式B得到c2>c2，以c2作为前端考察公式C得到c2>c5，以c5作为前端考察公式D得到c5>c1,所以最终结果是<FONT color=green>c1>c2>c2>c5>c1 = c1>c1</FONT>(这里不是变换因子，只是表达了块位置在各个公式阶段的流动过程)</P>
<P> 以c2作为前端逐步进行考察得到<FONT color=green>c2>c4>c3>c2>c2 = c2>c2</FONT></P>
<P> 以c3作为前端逐步进行考察得到<FONT color=green>c3>c3>c4>c4>c5 = c3>c5</FONT></P>
<P> 以c4作为前端逐步进行考察得到<FONT color=green>c4>c1>c1>c1>c4 = c4>c4</FONT></P>
<P> 以c5作为前端逐步进行考察得到<FONT color=green>c5>c5>c5>c6>c6 = c5>c6</FONT></P>
<P> 以c6作为前端逐步进行考察得到<FONT color=green>c6>c6>c6>c3>c3 = c6>c3</FONT></P>
<P> 以c7作为前端逐步进行考察得到<FONT color=green>c7>c7>c7>c7>c8 = c7>c8</FONT></P>
<P> 以c8作为前端逐步进行考察得到<FONT color=green>c8>c8>c8>c8>c7 = c8>c7</FONT></P>
<P> 所以<FONT color=green>A+B+C+D = {c3>c5>c6,c7>c8}</FONT></P>
<P><FONT color=black><b> 问题c：</b>已知公式A的变换集合为{c3>c6,c5>c2>c1},公式B的变换集合未知，公式A+B的变换集合为{c6>c7,c2>c3}，求解公式B的变换集合。</FONT></P>
<P> 试着推理：用问题a的方式，以c1作为前端考察流动过程，并写出完整变换描述，未知的地方用?表示。我们将得到</P>
<P> c1>c5>c2 ----------- 写出c1作为前端在公式A中的完整变换描述
?1>c5>?2 ----------- 写出c5作为前端在公式B中的完整变换描述,前端后端均未知
---------------
c1>c1 ----------- 写出c1作为前端在公式A+B的变换因子，这是已知的</P>
<P> 我们可以看到这样的结果 c1>c5>?2 = c1>c1,所以?2 = c1，公式B包含了变换因子 c5>c1。</P>
<P> <FONT color=#000080>前端定理</FONT>：设Bn>Ba为公式A的一个变换因子，Bn>B(a+b)为公式A+B的一个变换因子，那么公式B必然包含变换因子Ba>B(a+b)。前端是指公式A和公式A+B的前端一致。</P>
<P> 了解了原理，我们可以用下面方式来解决</P>
<P> 以c1作为前端考察A，A+B得到<FONT color=green>c1>c5,c1>c1, 所以c5>c1</FONT></P>
<P> 以c2作为前端考察A，A+B得到<FONT color=green>c2>c1,c2>c3, 所以c1>c3</FONT></P>
<P> 以c3作为前端考察A，A+B得到<FONT color=green>c3>c6,c3>c2, 所以c6>c2</FONT></P>
<P> 以c4作为前端考察A，A+B得到<FONT color=green>c4>c4,c4>c4, 所以c4>c4</FONT></P>
<P> 以c5作为前端考察A，A+B得到<FONT color=green>c5>c2,c5>c5, 所以c2>c5</FONT></P>
<P> 以c6作为前端考察A，A+B得到<FONT color=green>c6>c3,c6>c7, 所以c3>c7</FONT></P>
<P> 以c7作为前端考察A，A+B得到<FONT color=green>c7>c7,c7>c6, 所以c7>c6</FONT></P>
<P> 以c8作为前端考察A，A+B得到<FONT color=green>c8>c8,c8>c8, 所以c8>c8</FONT></P>
<P> 所以公式B的变换集合为{c1>c3>c7>c6>c2>c5}</P>
<P><FONT color=black><b> 问题d：</b>公式A的变换集合未知，已知公式B的变换集合为{c3>c6,c5>c2>c1},公式A+B的变换集合为{c6>c7,c2>c3}，求解公式A的变换集合。</FONT></P>
<P> 试着推理：用问题a的方式，以c1作为本端考察流动过程，并写出完整变换描述，未知的地方用?表示。我们将得到</P>
<P> ?1>c1>?2 ----------- 写出c1作为前端在公式A中的完整变换描述,前端后端均未知
c2>c1>c5 ----------- 写出c1作为前端在公式B中的完整变换描述
---------------
c1>c5 ----------- 写出c5作为后端在公式A+B的变换因子，这是已知的</P>
<P> 我们可以看到这样的结果 ?1>c1>c5 = c1>c5,所以?1 = c1，公式A包含了变换因子 c1>c1。</P>
<P> <FONT color=#000080>后端定理</FONT>：设Bb>Bn为公式B的一个变换因子，B(a+b)>Bn为公式A+B的一个变换因子，那么公式A必然包含变换因子B(a+b)>Bb。后端是指公式B和公式A+B的后端一致。</P>
<P> 了解了原理，我们可以用下面方式来解决</P>
<P> 以c1作为后端考察B，A+B得到<FONT color=green>c2>c1,c1>c1, 所以c1>c2</FONT></P>
<P> 以c2作为后端考察B，A+B得到<FONT color=green>c5>c2,c3>c2, 所以c3>c5</FONT></P>
<P> 以c3作为后端考察B，A+B得到<FONT color=green>c6>c3,c2>c3, 所以c2>c6</FONT></P>
<P> 以c4作为后端考察B，A+B得到<FONT color=green>c4>c4,c4>c4, 所以c4>c4</FONT></P>
<P> 以c5作为后端考察B，A+B得到<FONT color=green>c1>c5,c5>c5, 所以c5>c1</FONT></P>
<P> 以c6作为后端考察B，A+B得到<FONT color=green>c3>c6,c7>c6, 所以c7>c3</FONT></P>
<P> 以c7作为后端考察B，A+B得到<FONT color=green>c7>c7,c6>c7, 所以c6>c7</FONT></P>
<P> 以c8作为后端考察B，A+B得到<FONT color=green>c8>c8,c8>c8, 所以c8>c8</FONT></P>
<P> 所以公式B的变换集合为{c1>c2>c6>c7>c3>c5} </P>
<P><FONT face=宋体></FONT> </P> mf09 mf09 mf09
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