魔方数问

剑齿怪杰 发表于 2008-9-27 03:39:10

最近筹建社团，对魔方的思考也多了些，深刻了些。于是有了几个问题，看似简单，但细究却是关于魔方的几个最关键的问题。而且不是有人说过：提出问题比回答问题更有价值么。那么现在就写出来，大家一起研究。
一问：什么是魔方？<?xml:namespace prefix = o ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:office" /><o:p></o:p>
这个问题在许多的帖子中已经涉及，也有些基本观点，但还没形成严谨的科学语言叙述。<o:p></o:p>
由于没有明确定义，也引发了一些问题，如最简单的魔方是什么？存不存在一阶魔方？神龙摆尾之类算不算魔方？魔方是否应该包含其它维的内容（最常见问题是承不承认有二维魔方）？<o:p></o:p>
个人意见：乌木先生对此问题的观点已经具有一定雏形，但对一些问题尚有含糊。其实不用兼顾太多。魔方从大众的角度来说就只是那最初的一个——六轴三阶正方体魔方（烟氏命名），这个可以作为魔方的狭义解释（维基百科上也基于此下的定义）。而广义的就涉及到一些“敏感”问题，如上面所说的边缘问题。个人觉得二维的可以排除（无三不成方），带魔字的也要考虑“录取”。当然定义得越明确越能给出清晰的判断。<o:p></o:p>
    参考帖子
什么系统才算魔方：
<A href="http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=12314&extra=page%3D1&page=1">http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=12314&extra=page%3D1&page=1</A>
魔方的种类：
<A href="http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=1554&highlight=%D6%D6%C0%E0">http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=1554&highlight=%D6%D6%C0%E0</A>
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二问：可控量与变量寡众关系对一个系统的还原难易程度有什么影响？
这个问题问得比较玄，先做些解释吧：最普通的三阶魔方，我们可以控制的是六个面的转动，每个面有两种转动方式（对转半圈理解为两次转动会使我们的讨论大大简化），这些就是可控量；表面有26块，分三类，中心块，边块和角块。中心块有四种方向状态，边块有位置和两个色向状态，角块有位置和三个色向状态。这些是变量，变量间是有相互影响的，这取决于系统的结构（就是说三阶正常情况不会出现不可能状态）。
从魔方这个系统我们已经可以看出这个问题的一些复杂性：首先是可控量和变量的描述（边块和角块肯定是作为不同的变量存在的）；又如滑块拼图，可控量应该算上面小块的数量还是可以移动的状态数量？小块数量较多，而可移动数量则在4以内。
在有确切描述后就是要构建一个理论来统一这些可控量与变量。在此基础上才能再来讨论还原的难易程度。其工作量不可想象。或许我们只能针对已知的系统来建立模型分析，并依次指导尚不能构建的系统。如2 .5阶魔方难易程度如何？
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三问：最远步数与魔方状态数间的关系如何？
我们知道三阶魔方最远步数在23以内，而状态数则是一个天文数字。那三阶魔方各个状态间是如何联系的呢？首先可以确定的是状态的平等性。如SQ1的形状状态间就存在不平等关系，我们也得出了它形状状态间的变化图谱。三阶魔方的状态图谱是什么样呢？根据平等性原理，各个状态所处的位置也应该是平等的。这种平等在二维上体现为圆，三维上则体现为球体。所以可以形象地想象三阶魔方的各个状态是均匀分布于球面的点（理想化，但可以确定的一点是：因为魔方在一种状态下可以有12种不同的转动，所以这些状态点每点上有12条连线）。不过这只是想象，在这种球形假设下，很难实现如此多相邻状态点的等距性，而如果不考虑等距性，完全可以按拓扑原理把它压缩在一个平面内，且形状任意。
考虑等距性会出现什么情况呢？如果三个点互相间距离相等，我们可以通过一个等边三角形实现；而如果四个点相互间距离相等，我们必须脱离二维，在三维内构建一个正四面体。再多个点的话我们就要脱离我们熟悉的三维世界进入四维世界了。不过在魔方的状态中似乎比这简单点：不存在3步的循环（再次强调，转半圈算两次转动）。因为不存在3步循环，所以在状态图中不存在三角形，最小循环也是等边四边形，而四边形是可以压缩的。这使我们有理由相信我们可以在三维状态甚至二维状态下作出三阶魔方的状态图。
我们现在知道最远步数，但我们不知道最远状态是什么样。或许上述状态图可以给出解答。
试想在一个球面上，我们知道这个球的半径，这就说明我们知道球的大小，球面间最远的距离，这些是中学阶段就能完成的内容。但作为球面上一点的“居民”，他们却无法知道他们的对面是什么样子。因为没有指南针或星座之类可作参照，他们出发后完全不能保证按球面的大圆前进，所以他们知道对面的存在，却永远到不了对面，无法窥见对面的情景。这不正像我们现在么，知道最远状态离我们多远，却不知道它是什么样子的。而如果我们能作出三阶魔方的状态图，我们可以像解几何问题一样将这个难题解开。

[ 本帖最后由剑齿怪杰于 2008-9-27 14:48 编辑 ]

剑齿怪杰 发表于 2008-9-27 03:39:46

超字数了，最后一小段挪下来

此文的目的只是提出问题，希望能激发大家思考，也算从理论方面对魔方做点推动。文中许多只是跟着感觉走，并未经过严格论证，看官尽可反驳、发难，惟希望不只是为难，还是以探讨理论，发表观点，对相关问题解答有所促进为重。

13813800 发表于 2008-9-27 08:21:17

玩魔方的最低境界（最易，最浅显）是什么呢？

kexin_xiao 发表于 2008-9-27 08:46:20

LZ不断总结、不断提高的方法值得借鉴。

7阶4分 发表于 2008-9-27 09:15:06

太有探索精神了！佩服啊！

魔鱼儿 发表于 2008-9-27 10:35:47

强强相抗啊,呵呵,顶,学习了,确实很厉害

bbshanwei 发表于 2008-9-27 11:52:24

这才是魔方的研究精神啊。:lol

剑齿怪杰 发表于 2008-9-27 14:41:08

大家也别旁观，发表下自己的意见啊

剑齿怪杰 发表于 2008-9-27 15:01:57

刚刚突然发现Ｇ老师回信，修改了一处错误——最少步数目前是２３。
还有Ｇ老师的观点：<A href="http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=8456&extra=page%3D8&page=4">http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=8456&extra=page%3D8&page=4</A>
不过这个帖子人身攻击较多，当初看的时候就晕乎乎的……
至于本贴说那句“无三不成方”前面说了是为了排除二阶，所以此处的三自然应该理解为三阶，而不是三角形之类非“方”形。

ggglgq 发表于 2008-9-27 15:08:33

本人很长时间没有在理论区发言了，今天看到剑齿怪杰的主题，觉得有必要   发帖子简单说明一下自己的观点（前面的帖子被 pengw 删了，再补一帖）：     
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     一问：什么是魔方？       请参考： <A href="http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=8456&extra=page%3D8&page=4">关于魔方学术名的讨论 31 楼以后的内容</A>，本人的观点已详细描述过。       <A href="http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=8456&extra=page%3D8&page=4">http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=8456&extra=page%3D8&page=4</A>         对于楼主（二维的可以排除，无三不成方）的说法，本人质疑：正方形是“三维”吗？         
<HR>
     二问：可控量与变量寡众关系对一个系统的还原难易程度有什么影响？       我现在不太明白楼主的问题中是否含有魔方“阶”的意思？如果含有魔方“阶”的      意思，请您参考： <A href="http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=8456&extra=page%3D8&page=4">关于魔方学术名的讨论 31 楼以后的内容</A>，本人的观点已详细描述过。       <A href="http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=8456&extra=page%3D8&page=4">http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=8456&extra=page%3D8&page=4</A>           魔方“可控量与变量寡众关系”其他方面的内容还有待研究。       
<HR>
    三问：最远步数与魔方状态数间的关系如何？      最远步数与各类魔方状态数之间没有必然的关系！          对于楼主（我们知道三阶魔方最远步数在20以内）的说法，本人质疑：好象不对吧？！   应该是“我们知道三阶魔方最远步数在23以内”吧！楼主是从哪里得到 20 以内的结论？！          
<HR>
             呵呵，请大家继续深入探讨！                                               

[ 本帖最后由 ggglgq 于 2008-9-27 15:17 编辑 ]

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