魔方旋转能否用矩阵表示
魔方旋转能否用矩阵表示一个1×1×2阶魔方,经实际确认,有四种状态,我们不考虑状态,而考虑旋转,发现旋转需要符合两个条件,一是旋转四次恢复原样,二是旋转一次,两次和三次,都不能恢复原样,那么有没有这样的一个数,任何的数乘以它,乘以四次,变回那个数的本身,而乘以一次两次三次都不能呢?有,设为X,则X^4=1,解之得,X=±1或X=±i,±1不符合要求,因为它们的平方都是1,而±i都符合条件,为了方便,我们可设一次旋转为i。
[ 本帖最后由 coolow 于 2009-1-14 13:31 编辑 ] 一个1×2×2阶魔方(我们可以拿一个2×2×2阶魔方,把红蓝黄和红蓝白之间固定,把红绿黄和红绿白之间固定,把橙蓝黄和橙蓝白之间固定,把橙蓝黄和橙蓝白之间固定),
我们拧魔方时,发现只能进行180°旋转,因为90°旋转后会发现,不继续拧该面,则需要在被连着的地方拧,根本拧不动。如果我们把橙绿颜色放在左后,会发现,只旋转前面和右面,就能形成该魔方的所有状态。我们先只考虑前面,有两个要求,一是旋转两次恢复原样,二是旋转一次不能恢复原样,对于一个二阶矩阵
F=┌sinα cosα┐,
└cosα -sinα┘
不可能等于单位矩阵,而且,自己的平方是单位矩阵,符合这样的要求,再考虑右面,可设为
R=┌sinβcosβ┐,
└cosβ–sinβ┘
也符合要求,我们会发现1×2×2阶魔方只有六种状态,而且(FR)^3=E,设E为单位矩阵,经计算可知,需要α-β=2kπ±2π/3(k=0,±1,±2,±3……),
[ 本帖最后由 coolow 于 2009-1-14 13:22 编辑 ] 例如,我们会设α=11π/6,β=7π/6(抱歉,第一反应是ω=-1/2+i√3/2,弄了这么两个怪数),所以
F=┌-1/2 √3/2┐ R=┌-1/2 -√3/2┐
└ √3/2 1/2┘ └ -√3/2 -1/2┘
[ 本帖最后由 coolow 于 2009-1-14 13:24 编辑 ]
2阶魔方180°旋转问题,实际上,1×2×2阶魔方的旋转只比2阶魔方180°旋转少了一个U,而γ=π/2符合α-γ=2kπ±2π/3(k=0,±1,±2,±3……)和β-γ=2kπ±2π/3(k=0,±1,±2,±3……),所以设
U=┌1 0┐
└ 0 -1┘
2阶魔方问题,需要考虑f^2=F,r^2=R和u^2=U,而且全都符合旋转四次恢复原样,并且旋转一次,两次和三次,都不能恢复原样,我们发现
u=┌1 0┐
└ 0 i┘
符合要求,至于f和r,由于计算量的问题我还没有求出来,抱歉。
[ 本帖最后由 coolow 于 2009-1-14 13:26 编辑 ] 同事国鬼说,有不少魔方的计算机算法都是通过矩阵实现的,不知是不是如上的矩阵,三阶的计算量会更大,以上的如果学过复数,三角和线性代数都应该能够看懂,当然错误一定会有的,说白了,就是鲁毕克群是什么,可不可以利用矩阵来表示。
[ 本帖最后由 coolow 于 2009-1-14 13:27 编辑 ] 高中我矩阵这单元考试从来都是通不过的- - 1楼的“一个1×1×2阶魔方”是否笔误? 应该不是笔误。
楼主的意思,是只有一个方向能够旋转,而其他两个方向都不能旋转。比如把普通三阶模仿某一面的9个块粘住,其余的18(或17)个块粘住,就成为一个1×1×2阶魔方 关于二阶矩阵的四阶元,楼主已经给出
u=┌1 0┐
└ 0 i┘
还可以考虑
r=┌1 0┐
└ 0 -i┘
f=┌0 i┐
└ i 0┘
这三个四阶元是线性无关的。
回复 8# 的帖子
<P>那么,1楼说 “1×1×2魔方”,2楼说“1×2×2魔方”,是两个问题,对吗? </P><P> </P>
<P>此外,李世春教授的《魔方的科学和计算机表现》一书里面提到点群、矩阵什么的,是否就是本帖说的?(我不懂这些东西。)</P>
页:
[1]
2