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<P>且慢考虑楼主后来补充说的，题目应为“一个簇任选偶数个块作一次任何方式的偶轮换，一定改变该簇的奇偶性”，先考虑“一个簇经任一表层一次或顺或逆的90°转，一定改变该簇的奇偶性。”</P>
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<P> 暂不考虑中心块，但它们的位置不许动，只许“自转”，不许“公转”。 </P>
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<P>Rubik老人家捣鼓出来的玩意儿决定了，三阶魔方任一表层转动时总是四个棱块和四个角块“铁板一块”般地联动的。只转90°一次的话，棱态a变为棱态b，两者就差一个四轮换；同时，角态a也一定变为角态b，也差一个四轮换。所以，这“一转”就是簇际变换。 </P>
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<P>“一转”之后簇态有变化是肯定的，问题是簇态的奇偶性是否也一定有变？</P>
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<P>那就只要用簇内变换（例如三轮换）试试能否使（比如）棱态b恢复为棱态a，显然不行，簇内变换无法化解那四轮换。这就说明那“一转”之后棱态的奇偶性变了－－a和b两者的偶元环的数目的奇偶性不同了，也就是棱态的奇偶性不同了，发生了奇性、偶性之间的切换。</P>
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<P>要使棱态b恢复为棱态a，最简单的方法就是做那“一转”的“一逆转”，而这“一逆转”却是簇际变换－－角簇也受牵连，这同样证明那“一转”之后棱态的奇偶性变了。</P>
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<P>对于角块簇，分析类同。</P>
[ 本帖最后由 乌木 于 2008-9-7 23:25 编辑 ] <P>如果用简单的方法，如以前的将块排在一起换来换去的方法，面对天文数量的环拓扑，可能很难下手，一些玩群论玩线性代数的人又只会说不会做，实在让人头痛。这个问题确实很有趣，甚至是很关键。</P>
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<P>最小步问题，只不过是在已知众多路线的前提下，如何走得更短，这不是原理问题，只是一个运筹学方面的问题，这类问题广泛存于在交通行业中。</P>
[ 本帖最后由 pengw 于 2008-9-8 08:59 编辑 ] 没有想到简单一转，包含的问题让人如此头痛，如果不解决这个问题，质疑现有的所有魔方定律是有允分的理由，继续等答案
[ 本帖最后由 pengw 于 2008-9-8 09:03 编辑 ] 即然当前证明一楼的命题有困难，换一种思路，证明是错误，就不须要面对一般性问题，你可试试以构造这样一个例子，设想一种环结构，经一次四元置换，偶元环的个数没有改变。
回复 73#、74# 的帖子
<P>看来71楼的“证明”还不行，现在再看看，是有点“自说自话”。 </P><P> </P>
<P>“一转”之后，簇态是肯定有变；也知道“一转”之后，该簇的偶元环的数目的奇偶性切换了，问题是很难用非数学语言证明。</P>
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<P>即使照你说的“设想一种环结构，经一次四元置换，偶元环的个数没有改变”，也有问题，因为如果这样设想之后反证成功，也只能证明“偶元环的个数有变”，却不能证明“偶元环的个数的奇偶性有切变”，比如，从一个偶元环变为3个偶元环，也是变，但奇偶性没变。</P>
[ 本帖最后由 乌木 于 2008-9-8 10:12 编辑 ] 是有点令人难以下手，如果乌木不嫌麻烦，可以试试数学方法
[ 本帖最后由 pengw 于 2008-9-8 11:17 编辑 ] <P>要我用数学法，来世或许可能。还是试试你一再提示的反证法。</P>
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<P>一些事实：三阶魔方的中心块作参照时，它的全部动作只有U、U'、R、R'……D、D'12种；魔方的任何一态都可以从复原态（仅为方便）出发，用这12种动作的排列组合转出来；它们有的是奇态，也有的是偶态；它们都可以复原；复原态是偶态。</P>
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<P>先看表层90°一转（简称“一转”）。先抓个奇性初态来。设那12个动作分别为12个一步公式，它们的重复周期都是4遍。以UUUU为例，任何一个奇性初态做UUUU之后复初，这也是事实。</P>
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<P>假定那任取的奇性初态分别做U、UU或UUU之后所得的三个态都是奇性，即态的奇偶性始终不变，那么任何别的“一转”也都不改变态的奇性，即使那些“一转”再怎么排列组合都无济于事，也就是那奇性初态永远无法复原。这与事实不符。所以每“一转”一定切换一下态性，比如，分别做的时候，U－变为偶性；UU－成为奇性；UUU－得到偶性；UUUU复初为奇性。</P>
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<P>至于变化方式是否为“U不变；UU才变为偶性；UUU又不变，仍为偶性；UUUU再变为奇性”？不可能有这种每两转来一次切换的，因为“U”不变，仍为奇性的话，“UU”就没有理由变，一定仍为奇性；“UUU”后还得奇性。公式“U”的整个周期内没有偶性态出现，故别的任何“一转”的任何排列组合也都无偶态出现，奇性初态将永不复原。这当然不合事实。</P>
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<P>再看从复原态出发的变化，如上考虑，同理，如果“一转”不切换态性的话，将永远转不出奇态魔方，这也与事实不符。故同样证明了每“一转”一定切换一下态性。</P>
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<P>再推广到并不一定同层的“一转”，而是任选偶数m个块做一次m偶轮换，这偶轮换的公式F的重复周期是m遍。在整个周期内无态性切换的话，别的等价于F的公式也不会出现态性切换。不同的偶数m值时，情况将一样，即同样地，会使奇性初态不可复原，或者从复原态出发转不出奇性态。显然两种情况都不合事实。</P>
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[ 本帖最后由 乌木 于 2008-9-8 15:00 编辑 ] 如果魔方一直不改变奇偶性将不能复原，说得很好。但是，关于为什么只能是+-+-,不能是-++-的论述过于武断，在简单状态（复原，或对环外的块）上很容易验证明+-+-，但是，对一个复杂状态下这样的结论过于武断，也许UU虽然没有改变奇偶性但改变了状态，为第三个U创造了改变的机会，这也是一种可能性。
[ 本帖最后由 pengw 于 2008-9-8 15:11 编辑 ]
回复 78# 的帖子
<P>嗯，还得补漏洞。以奇性初态和U、UU、UUU、UUUU为例，上面分析已经排除了无态性改变的情况。定有态性改变，但改变方式可能有：</P><P>1、U，不变，仍得奇态；UU，才变而得偶态；UUU，不变而仍得偶态；UUUU又变而得奇态。这种方式77楼已排除。<BR>2、U，不变；后面另三种无论什么样的、含有“有变”的方式，都和“1”同样的推理可排除，因为UU相对于U，是“一转”；UUU相对于UU，也是“一转”；UUUU相对于UUU，还是“一转”。这是完全可以也应该“武断”的。</P>
<P>3、U，变；后面另三种无论什么样的、含有“不变”的方式，同上理由可“武断”地排除。</P>
<P>4、剩下唯一的、也是正确的是，U、UU、UUU、UUUU每一种都相对于前一种有改变，也就是每“一转”都有态性切变。初态的四次分别的操作，态性情况就是，初＋0－－为奇；初＋U－－得偶；初＋UU－－得奇；初＋UUU－－得偶；初＋UUUU－－得奇态。这一点不想武断也得武断。</P>
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<P>再从复原态（偶态）出发，做类同的分析，照样得出每“一转”都有态性切变。</P>
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<P>上面推广到“任选偶数个块……”时，有点粗糙。暂时就那样吧，感到有点脑子不够用。</P>
[ 本帖最后由 乌木 于 2008-9-8 16:31 编辑 ] 乌兄确实做得很辛苦，我谈一下我的看法，在同一个只须要有限几步就能复原的状态下去做以上比对，怎么做都好说，如果面对一个至少须要20步才能复原的魔方，你又怎么肯定中间不会连继5步、6步不改变簇的奇偶性？