ggglgq 发表于 2008-8-19 10:50:25

小议《广义魔方存在3置换的一个充分条件》

&nbsp;&nbsp; <BR>&nbsp; <BR>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <BR>&nbsp;&nbsp;&nbsp; 鉴于 某位“理论大师”(自诩)总是 “<FONT color=red><STRONG>攻击、改帖、屏蔽、删帖</STRONG></FONT>”,本人不便<BR>&nbsp; <BR>在“理论篇”发帖子讨论问题,另发一贴探讨《<A href="http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=12745"><FONT color=blue><STRONG>广义魔方存在3置换的一个充分条件</STRONG></FONT></A>》,<BR>&nbsp; <BR>敬请 earthengine 及 大家 理解! <BR>&nbsp; <BR>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <A href="http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=12745">http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=12745</A><BR>&nbsp; &nbsp;&nbsp; <BR>&nbsp; <BR>&nbsp;&nbsp;&nbsp;

ggglgq 发表于 2008-8-19 10:51:15

<P>&nbsp;&nbsp; <BR>&nbsp; <BR>&nbsp;&nbsp;&nbsp; earthengine 在<A href="http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=12745"><FONT color=blue><STRONG>《广义魔方存在3置换的一个充分条件》</STRONG></FONT></A>中的原贴内容:<BR>&nbsp; <BR>&nbsp; <BR></P>
<P>
<HR>

<P></P>
<P> <BR>&nbsp; <BR>因为pengw追问这个证明,我想我能给出一个充分条件,而这个充分条件在高阶魔方上应该是普遍成立的。 </P>
<P>首先明确定义。</P>
<P><BR>广义魔方:它包括一些节点,一些位置,以及允许的基本动作。它有一种以上的状态,在每个状态下,每个节点占据一个位置,但不会有两个节点占据同一位置,也不会有一些位置空着。每个基本动作将开始状态下一些位置上的节点移动到别的位置,从而形成新的状态。</P>
<P>一个公式是基本动作的序列,又可称为派生动作。如果两个公式总是把同样的开始状态变为同样的结束状态,则这两个公式叫做全等公式。一个公式能影响0个或多个位置上的节点,这些位置称为公式的相关位置。</P>
<P>由于节点数目有限,因此状态数目有限。从而任何公式重复若干遍之后必然回到之前出现过的状态,最小的这个遍数叫做周期。由于周期的存在,对于每个公式f,必然存在另一个公式f'能把f造成的影响复原。这个f'叫做f的逆。</P>
<P>如果存在一个公式f1,能把另一个公式f2的相关节点变成第三个公式f3的相关节点,则有f3=(f1)(f2)(f1'),其中f1'是f1的逆。这时我们称f2和f3是相似公式。</P>
<P>如果两个公式有部分相关位置重叠,那么两个公式相交,否则平行。重叠的位置叫做交点。</P>
<P>如果存在一个公式能把一个位置上的节点移动到另一个,则这两个位置是同类的。所有同类位置叫做族。</P>
<P>在这些准备工作之后,我们来看看什么情况下能存在使三个节点的位置轮换的公式。</P>
<P><BR>引理:如果存在公式f1,f2(简化了条件表述),其中f2跟f1产生的实际效果完全一样,除了其中一个相关位置被偷换到其它地方之外,那么存在一个三轮换公式。 <BR>证明:</P>
<P>&nbsp;</P>
<P>举一个直观的例子:如果用(123456)表示一个7轮换公式f1的变换结果(意思是位置1上的节点移到位置2,等等),f2的变换结果是(123457),是把f1中6这个位置偷换到7所得到的。</P>
<P>现在我们来看公式(f1)(f2')的变换结果是什么。123456789经过f1变为612345789,再经过f2'(175432)变为123475689,正好是一个(567),完成了一个三轮换,而所有其它元素不变。(不熟悉这种表示的人可能不理解,其实是(123456)将1变成2,(175432)则把2变成1,因此(f1)(f2')下1可以变回原位。而f1把5变成6,它不被f2影响,因此这就是最终结果。其余可以类推。为什么f2的逆不是(754321)呢?其实这样写也可以,但我习惯把最小的数放在最前面,反正循环的方向是固定从左到右,两种写法是等价的)</P>
<P>如果f1是四轮换,那么f2因为和它相似从而也是。这时pengw从四轮换生成三轮换的方法就是以上的另一个特例。为什么(f1)(f2')刚好是一个三轮换呢?其实很简单:对于f1中的元素,要是f1不把它变到1(会被f2'把它变成7)或者6(f2'不能把她复原),那么它会被f2复原。从而123456这些点中只有2个会变化,加上f2中多出来的7这点,一共3个点要变化。由于两个相似变换的奇偶性相同,因此它们的组合必然是偶的,3个点之间能发生的偶变化必然是三轮换。这一论证是普遍的,因而定理被证明。</P>
<P><BR>定理:对于一个位置族如果存在公式f1,f2和f3满足(之前要求f1周期为2的要求取消了): <BR>f1和f2相交,f2和f3相交,f1和f2平行<BR>f1和f2的交点在经过f2移动之后,和f2与f3的交点只有一个位置重叠。<BR>那么在这个位置族上存在一个三置换。 <BR>证明:</P>
<P>在这些条件下,(f2)(f3)(f2')将把f2的相关节点中的一个换成f3的某个相关节点。从而(f2)(f3)(f2')(f1)(f2)(f3)(f2')和f1将能符合上面引理的条件。</P>
<P>&nbsp;</P>
<P>推论:</P>
<P>高阶魔方的任意族存在独立三轮换。</P>
<P>证明:高阶魔方的任意两个平行层的层转平行。任意一个面转动180度的周期为2。任意一个族有一个层转,它把某个面上这个族所在的行转动到侧面,而另一个平行的层转与它只有一个交点。从而,若选取一个面转为f1,相应的层转为f2,与它平行的层转为f3,则符合了上面定理要求的条件,证毕。</P>
<P> <BR>&nbsp; <BR>&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp;<BR></P>

ggglgq 发表于 2008-8-19 10:55:43

<P><BR>&nbsp; <BR>&nbsp;&nbsp;&nbsp; 好主题,earthengine 给出了一般魔方(广义魔方)存在 三置换 的一个判定<BR>&nbsp; <BR>条件,具有划时代的意义!<IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/smilies/default/victory.gif" border=0 smilieid="14">&nbsp;<BR>&nbsp;&nbsp;<BR>&nbsp;&nbsp;&nbsp; </P>
<P>原帖由 <I>earthengine</I> 于 2008-8-18 11:49 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&amp;pid=216430&amp;ptid=12745" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A> </P>
<P>&nbsp;&nbsp;定理:对于一个位置族如果存在公式f1,f2和f3满足(之前要求f1周期为2的要求取消了): <BR>f1和f2相交,f2和f3相交,f1和f2平行<BR>f1和f2的交点在经过f2移动之后,和f2与f3的交点只有一个位置重叠。<BR>那么在这个位置族上存在一个三置换。 <BR>证明:</P>
<P>在这些条件下,(f2)(f3)(f2')将把f2的相关节点中的一个换成f3的某个相关节点。从而(f2)(f3)(f2')(f1)(f2)(f3)(f2')和f1将能符合上面引理的条件。&nbsp;</P>
<P>&nbsp; <BR>&nbsp; <BR>&nbsp;&nbsp;&nbsp; “ f1 和 <FONT color=red><STRONG>f2</STRONG></FONT> 平行”应该是“ f1 和 <FONT color=blue><STRONG>f3 </STRONG></FONT>平行”吧?<BR>&nbsp; &nbsp; <BR>&nbsp;&nbsp;&nbsp; (f2)(f3)(f2')(f1)(f2)(<FONT color=red><STRONG>f3</STRONG></FONT>)(f2') 应该是 (f2)(f3)(f2')(f1)(f2)(<FONT color=blue><STRONG>f3'</STRONG></FONT>)(f2') 吧?<BR>&nbsp; <BR>&nbsp; <BR>&nbsp; <BR>&nbsp;&nbsp;&nbsp; 建议能把“ f1 和 f3 平行”的条件放宽为“ f1 和 f3 不相交”,这样更具一般性。<BR>&nbsp; <BR>因为对于各类魔方来说,只要“ f1 和 f3 不相交”,定理也成立!<BR>&nbsp; <BR>&nbsp; <BR>&nbsp; </P>
<P>原帖由 <I>earthengine</I> 于 2008-8-18 11:49 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&amp;pid=216430&amp;ptid=12745" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A>&nbsp;</P>
<P>如果存在一个公式f1,能把另一个公式f2的相关节点变成第三个公式f3的相关节点,则有f3=(f1)(f2)(f1'),其中f1'是f1的逆。这时我们称f2和f3是相似公式。</P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp; <BR>
<P>原帖由 <EM>earthengine</EM> 于 2008-8-18 11:49 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&amp;pid=217382&amp;ptid=12792" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A> </P>
<P>引理:如果存在公式f1,f2(简化了条件表述),其中f2跟f1产生的实际效果完全一样,除了其中一个相关位置被偷换到其它地方之外,那么存在一个三轮换公式。</P>
<P></P>&nbsp;&nbsp; <BR>&nbsp; <BR>&nbsp; <BR>&nbsp;&nbsp;&nbsp; 呵呵,有些乱了,f1、f2、f3 在“三置换公式”与“相似公式”等概念中“搅扰”呀!<IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/smilies/default/lol.gif" border=0 smilieid="12">&nbsp;<BR>&nbsp;&nbsp;&nbsp;<BR>&nbsp;&nbsp;<BR>&nbsp;&nbsp;<BR>&nbsp;
<P></P>

[ 本帖最后由 ggglgq 于 2008-8-19 11:22 编辑 ]

ggglgq 发表于 2008-8-19 10:56:50

<P>原帖由 <I>pengw</I> 于 2008-8-18 19:37 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&amp;pid=216896&amp;ptid=12745" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A> </P>
<P>回22楼,你不从“公理性”四轮换去推导三置换,你的证明没有说服力,也没有抓住问题的本质。五轮也好、三轮换也好都是四轮换工作的结果,这是一个不能否认的事实,四轮换才是魔方结构定义的最基本变换,没有人会认为四轮换是须要证明的,你首先应该证明三置换是如何来自四轮换,之后才能去证明三置换的一般性,这才是正确的思路,一定要尊重魔方上的基本变换特征。</P>
<P></P><BR>原帖由 <I>pengw</I> 于 2008-8-18 19:22 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&amp;pid=216871&amp;ptid=12745" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A> <BR>再重复一次,我的问题是,魔方上只有四轮换,随便一转都是如此,怎么就变出了三置换?你可以推导给大家看看吗?你不用四轮换去推导三置换,你的结论会让人信服吗? <BR> <BR><BR>
<P>原帖由 <I>earthengine</I> 于 2008-8-18 19:32 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&amp;pid=216885&amp;ptid=12745" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A>&nbsp;</P>
<P>我的证明不依赖于任何四轮换或者类似的东西。你可以在一个具有五轮换特性的魔方上实践出三轮换。基本要求是存在两个相似公式,它们的相关位置除了一个之外完全相同,然后另有一个公式能把多出来那个位置移到第三个地方,但不会动其它的相关位置。如果能这样,那么三轮换存在。</P>
<P>&nbsp;</P>
<P><BR>&nbsp; <BR>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 支持, earthengine 回答的很好!&nbsp; <BR>&nbsp; <BR>&nbsp; <BR>&nbsp; <BR>&nbsp; <BR>&nbsp; </P>

ggglgq 发表于 2008-8-19 10:58:06

<P>原帖由 <I>pengw</I> 于 2008-8-18 21:31 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&amp;pid=217030&amp;ptid=12745" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A> </P>
<P><FONT color=red size=6><STRONG>一切置换都源于四轮换</STRONG></FONT>,<FONT color=red size=6><STRONG>只有从纯四轮换推导出三置换才能令人信服</STRONG></FONT>,希望你理解我的说法并抓住问题的实质,不要迫于别人的追问而急于想去证明而失去冷静的分析而跌入圈套(看来会下套的人还不止一人嘛,哈哈哈),你一楼的证明显然不能令人信服,我想没有几个人能看明白你在说什么,你最好用图来表达你的意图,也不要轻易定义什么定理,要明白,三元置换,五元置换及所有可能的置换都是四元置换的派生置换,派生置换是不能自已证明自已的。</P>
<P></P>
<P> <BR>&nbsp; <BR>&nbsp; <BR>&nbsp;&nbsp;&nbsp; 呵呵,荒唐。 比如 正十二面体三阶魔方(俗称 五魔方 )中的<FONT color=blue><STRONG>基本置换<BR>&nbsp; <BR><FONT color=red>不是“四轮换”</FONT></STRONG></FONT>,<FONT color=blue><STRONG>都是“五轮换”。</STRONG></FONT> 也就是说,魔方不都是 正六面体魔方 !<BR>&nbsp; <BR>&nbsp; <BR>&nbsp; <BR>&nbsp; </P>

ggglgq 发表于 2008-8-19 10:58:55

<P>原帖由 <I>乌木</I> 于 2008-8-18 20:43 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&amp;pid=216965&amp;ptid=12745" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A></P>
<P>1楼说:“对于每个公式f,必然存在另一个公式f' 能把f 造成的影响复原。这个f' 叫做f 的逆。”那么,如果f=UR的话,f' 是R'U' 呢,还是(U R)104 呢?按照你的说法,都是;但是通常总是说f' 是R'U' ,很少人愿意说(U R)104是UR的逆。(还有数不清的符合你说法的 f' 。)</P>
<P></P>
<P>原帖由 <I>earthengine</I> 于 2008-8-18 21:16 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&amp;pid=217007&amp;ptid=12745" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A>&nbsp;</P>
<P>按照我的定义,(UR)104和R'U'是全等公式。因此,它们可以互相代替。我前面的提法逆只是让逆公式的存在性变得明显而已。<BR>&nbsp;&nbsp; <BR>&nbsp; &nbsp; <BR>&nbsp; <BR>&nbsp;&nbsp;&nbsp; 不错,一个“状态”可以有很多个“公式”,那么该“状态”的“逆公式”<BR>&nbsp; <BR>也应该有很多!&nbsp; 只是请大家注意:一个“状态”的“逆状态”只有一个!<BR>&nbsp; <BR>&nbsp; </P>

魔鱼儿 发表于 2008-8-19 10:59:32

楼主太专业了,这类问题大家看着很费劲啊,不过还是顶一下

ggglgq 发表于 2008-8-19 10:59:55

<P>原帖由 <I>乌木</I> 于 2008-8-18 20:43 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&amp;pid=216965&amp;ptid=12745" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A>&nbsp;</P>
<P>1楼说:“对于每个公式f,必然存在另一个公式f' 能把f 造成的影响复原。这个f' 叫做f 的逆。”那么,如果f=UR的话,f' 是R'U' 呢,还是(U R)104 呢?按照你的说法,都是;但是通常总是说f' 是R'U' ,很少人愿意说(U R)104是UR的逆。(还有数不清的符合你说法的 f' 。) </P>
<P>&nbsp;</P><BR>
<P>原帖由 <I>乌木</I> 于 2008-8-18 22:21 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&amp;pid=217121&amp;ptid=12745" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A>&nbsp;&nbsp;</P>
<P>但大家对“逆公式”的含义已经约定俗成了呀。是否此处你得换个说法?一个打乱态的获得步骤很多很多,该乱态的复原步骤也很多很多,这两大帮步骤串之间,任一个步骤串的逆步骤串只有一个,别的等价物不等于逆步骤串,逆过程还得讲究一步步具体的“脚印”的重现,不仅仅初态终态之重现。</P>
<P>&nbsp;<BR>&nbsp; <BR>&nbsp; <BR>&nbsp;&nbsp;&nbsp; <FONT color=blue><STRONG>一个“状态”可以有很多个“公式”,那么该“状态”的“逆公式”<BR>&nbsp; <BR>也应该有很多</STRONG></FONT>!&nbsp; 只是请大家注意:一个“状态”的“逆状态”只有一个!<BR>&nbsp; <BR>&nbsp; <BR>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <FONT color=red><STRONG>乌木 先生理解数学概念不对呀</STRONG></FONT>!&nbsp; <FONT color=blue><STRONG>earthengine 的说法是正确的</STRONG></FONT>! <BR>&nbsp; <BR>&nbsp; <BR>&nbsp; </P>

kexin_xiao 发表于 2008-8-19 11:00:40

顶一下!理论问题我水平还很不够,要好好学习!

乌木 发表于 2008-8-19 11:21:52

<DIV class=quote>
<H5>引用:</H5>
<BLOCKQUOTE>原帖由 <I>earthengine</I> 于 2008-8-18 11:49 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&amp;pid=216430&amp;ptid=12745" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A>
<P></P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp; 对于定理:对于一个位置族如果存在公式f1,f2和f3满足(之前要求f1周期为2的要求取消了): <BR>f1和f2相交,f2和f3相交,f1和f3平行<BR>f1和f2的交点在经过f2移动之后,和f2与f3的交点只有一个位置重叠。<BR>那么在这个位置族上存在一个三置换。&nbsp;</P>
<P></P></BLOCKQUOTE></DIV>3楼中g老师在引用中直接把“f1和f2平行”改为“f1和f3平行”,就不是“引用”了。这样直接改引用物,会让人看不懂下文的。<BR><BR>
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