二阶、斜转、直升机与Rhomdo Transformer系列
本帖最后由 redcarrot 于 2018-8-21 15:49 编辑这是一篇介绍类的小短文，也可以算是一个“综述”吧。
二阶、斜转、直升机都是十分基本的魔方。从外观上看，直升机魔方和斜转+二阶长得是一样的。因此，自2007年直升机魔方面世以来，不断有设计师尝试将三者融合起来：
- 2009年9月，Garrett Ong首先设计了直升机+二阶，不过他本人从来没有打印过，后来其他玩家打印验证了其设计确实是可行的；2011年1月，Eric Vergo进一步地解绑了直升机部分，也将直升机+二阶真正地带入了人们的视野；2011年12月，老大也打印过同样的魔方。
- 2009年12月，Adam G. Cowan首先设计并制作了斜转+二阶，只是转动效果不佳，从来没贴贴纸，算是半成品；2012年4月，Vladimir Yaroslavskiy制作了磁力版本，并命名为Super Z。
- 2010年8月，Tom van der Zanden设计并制作了直升机+斜转，给两两的组合填补了最后的空缺。2012年8月，他又进一步地解绑了直升机的部分。
- 2018年1月，传奇设计师Jason Smith终于填补了空缺，将三者合为一体，命名为Jr. Heli-Skewb，为这一个小系列真正画上了圆满的句号。在我这个结构外行看来，这个魔方的结构非常壮观，可以看看视频，链接见文末。
以上只是一点背景介绍，我真正想谈一谈的内容，要从直升机+斜转出发。
本帖最后由 redcarrot 于 2018-8-21 16:18 编辑
众所周知，直升机魔方有“Jumble”的特性。在发明十年后的今天，想必大家已经比较熟悉了。然而，特殊的是，直升机+斜转拥有两种超出单纯的直升机魔方的jumble：
1. 斜转角转动60度后，仍可进行直升机的转动；
2. 直升机棱转动约70.53度的jumble角度后，仍可进行斜转的转动。
我们可以回顾一下jumble产生的原因。这个帖子给出了jumble的必要条件：
http://www.twistypuzzles.com/forum/viewtopic.php?f=1&t=31193
翻译如下：
从几何的角度来看，对于单一核心的魔方（注：相对于Bubbloid系列那样的复合核心）来说，jumble需要魔方的两个切割平面（a, b）满足如下三点：
1. 切割深度相同
2. 和第三个切割平面(c)的二面角相同
3. 考虑垂直于c，将a旋转到b的整体旋转，这个旋转不能把魔方的核心保持不变（注：比如普通三阶魔方，a为L面，b为R面，c为U面，就是第3条的反例）
现在问题来了：直升机魔方能够jumble，我们知道为什么；然而直升机+斜转为什么会产生新形式的jumble？上面的条件只适用于单一切割的魔方，而我们遇到的问题是两种切割之间的“纠缠”。
2014年7月，Oskar van Deventer制作的看似差别很大的Rhomdo Transformer，完美地揭示了这种现象产生的原因。
这个魔方的外形是“梯形菱形十二面体”，有6个菱形面和6个梯形面。它的前身是Eric Vergo于2011年2月制作的Rhomdo，即转面梯形菱形十二面体。他的灵感来源是菱形12面体斜转，将一个角转动60度后，得到的就是这个形状。事实上，从帖子中可以看到，在制作Rhomdo时，Eric Vergo已经了解了斜转+直升机魔方背后的机制。
顺带一提，梯形菱形十二面体和菱形十二面体都是可以“填满整个空间”的立体。
现在目光回到Rhomdo Transformer，在一次斜转的60度转动后，我们会惊奇地发现，魔方的整体形状变成菱形十二面体的同时，新出现的6个菱形面也随之出现了对齐的切割线。此时，忽略斜转的切割，恰好得到的是Eitan Cher于2009年11月制作的转面菱形十二面体，也就是直升机系列的轴类。
于是Rhomdo Transformer的转动机制可以解释为：斜转的转动将菱形十二面体和梯形菱形十二面体两种几何体联系起来，在两种能jumble的几何之间转化。本身前者的解法稍微简单一些，后者相对复杂，斜转转动的引入平衡了难度，可以说是一个创举。
回到斜转+直升机魔方上，两种特殊的转动也就不足为奇了。“斜转角转动60度后，仍可进行直升机的转动”就是梯形菱形十二面体的转面转动；“直升机棱转动约70.53度的jumble角度后，仍可进行斜转的转动”也只是将另一条斜转切割线对齐后的转动。这些转动在Rhomdo Transformer上显得非常自然。
本帖最后由 redcarrot 于 2018-8-21 16:20 编辑
在Rhomdo Transformer之后，这一轴类也陆续迎来了一些新成员：
- 2015年8月，David Pitcher制作了Crystal Transformer，加深了菱形十二面体转面的切割，单独看这一切割线，其实是Matt Shepit于2008年制作的Rua。（题外话，Rua这个单词是毛利语的“2”，有趣的名字）。
- 2018年3月，Vladi Delimollov制作了Skewby FTRD plus，将菱形十二面体转面改为弧形切割，单独看这一切割线，和（解绑版本的）mf8弧形转面直升机三号是等价的。Rhomdo Transformer和Crystal Transformer的所有块在其中都能找到等价块。
- 前天，也就是2018年8月19日，Vladi Delimollov将Skewby FTRD plus改造成球形，并只保留了6个菱形十二面体转面轴和1个斜转轴，命名为Sisyphus’ Stone.
回到传统的正方体外形：
- 2012年8月，Luke Benjii制作了Curvy Copter Skewb，顾名思义，将直升机的切割换成了花瓣直升机的切割，非常漂亮。
- 2017年3月，Diogo Sousa制作了Curvy Copter Skewb Plus，在上一魔方的基础上进行了升级。当时作者以相对较低的价格出售了不少，mf8 62mm立方体系列的盒子上也印有了这个魔方，非常期待量产！
对于其他外形的这一轴类：
- 2016年2月，Grégoire Pfennig制作了8面体版本的ETO Skewb，也可以看到单个面转动60度后的进一步棱转动。
- 2018年6月，Grégoire Pfennig制作了六棱柱版本的Shuriken。从这个魔方看6个侧面在两种轴类间的变化也很清晰，不过作者没给出恰好旋转60度的图片。
之前展示的所有魔方四轴/八轴的切割都是斜转切割，但并非只有斜转切割才能展现这种变化。通过观察菱形十二面体与梯形菱形十二面体，我们可以看到，略微地浅切八轴，同样可以在两种轴类之间进行转换。一个例子是许先生设计的Flower Copter与Flower Copter II，前者去年已经由蓝蓝量产。小花瓣的jumble当时我无论如何也想不清楚，现在想来，也是Rhomdo Transformer系列变化的结果。（如有错误欢迎指正）
以上就是对于斜转+直升机系列，同样也可以说是“深切”转角+转棱六面体系列的一个概括。不过，在文章开头引子中提到的“三合一”魔方Jr. Heli-Skewb上，还出现了一种新类型的jumble：在棱转动一定角度后，可以继续进行二阶转动。这个角度不是70.53度，且这种转动似乎只是在三种切割都具备的时候才存在的。不过粗略的看，也就是因为对齐了切割线的结果。由于三种切割皆具备的例子目前只有这一个，我也很期待见到更多这种jumble的例子，并找到合适的几何来做出更好的解释。
本帖最后由 redcarrot 于 2018-8-21 16:20 编辑
相关链接：
Rhomdo Transformer系列的TP Museum介绍—http://www.twistypuzzles.com/cgi-bin/pdb-search.cgi?ckey=&act=adv&all=&phr=&any=&non=&sec=&mec=353&inv=&pro=&dat（一个一个贴原链接太费劲了，我把他们加进了Museum的链接里，不过要等管理员Andreas审核）
老大的直升机+二阶—http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=viewthread&tid=85434
Jr. Heli-Skewb的视频介绍（rakaCN搬运）—https://v.youku.com/v_show/id_XMzM1NjE5MTY0MA
Sisyphus’ Stone—http://www.twistypuzzles.com/forum/viewtopic.php?f=15&t=33607
最后安利一下我一个多月前建的微信公众号“魔方范畴”。主要有2部分内容，“新品速递”主要收集量产魔方信息和TP论坛上的非量产魔方信息；“魔方图鉴”从最基础的魔方讲起，一点一点地介绍异型魔方。后者没发到过mf8论坛是因为我觉得写好的几篇有点太“简单”了，分别介绍了三阶魔方的非立方体和立方体变形。这篇帖子的内容也会发到公众号中~欢迎大家关注！
不明觉厉。貌似非常深奥，写的这么多。厉害:victory: 奇形怪状的魔方都想要，实在是太漂亮了，思路太开阔了:victory: 长见识了。 历害历害，非常有深度的文章 Heli-Skewb的视频介绍（rakaCN搬运）
这方便观看，直接搬到论坛
原网址：https://v.youku.com/v_show/id_XMzM1NjE5MTY0MA
embed/XMzM1NjE5MTY0MA 樓主幾乎把一款魔方的發展歷史與變化都寫到了一個帖子上了. 這是何等的魄力!