双空穴换位子的7种模式及其图解
本帖最后由 123wyx 于 2017-7-9 14:10 编辑双空穴换位子的7种模式及其图解
123wyx
最近一段时间,5轮换专家天方魔彭永强魔友在mf8论坛发表了《三盲[五循环]研究》、《[五循环]实例及“标态”研究》,对5轮换及双空穴换位子的原理进行了深入的探讨,并给出了相应的例子。这些文章对大家理解、研究5轮换起到了重要的作用。
下面,我把天方魔文章中提到的双空穴换位子的各种模式简单整理一下,并配上相应的图片,以使大家能够更加直观地理解这些内容。
【注】
需要指出的是,换位子(commutator)是抽象代数中的一个重要概念。对群G的元素a,b,称=aba’b’为a,b的换位子,其中a’与b’分别表示a与b的逆元素。换位子是衡量交换性的一个尺度。
“换位子”是“commutator”一词在数学界的标准译名。魔方界使用commutator发展盲拧理论已有十余年的历史,盲拧理论中的“commutator”这一概念正是来源于抽象代数的换位子概念,所以把“commutator”一词译为“换位子”是完全合理的。希望看到更多的盲拧选手使用“换位子”这一规范的译名。
本帖最后由 123wyx 于 2017-7-9 14:10 编辑
这里插一层楼给出笔者主要技术帖的索引,以方便大家交流探讨。
《三阶魔方三轮换分类及其应用》
《教你手算彳亍法角块378公式》
《棱块RU流三轮换公式原理浅析》
《棱块三轮换公式的四种模式》
《对换位子公式的一点理解》
《双空穴换位子的7种模式及其图解》
《我练习多盲的方法和经验》
《魔方盲拧与竞技记忆》(《魔方》杂志第9期)
很久以前写的一些小文章:
《学习盲拧注意事项》
《奇偶带翻角》
《30.58解法分析》(2011年许宇辉老师三盲世界纪录解法)
《五魔方盲拧法》
本帖最后由 123wyx 于 2017-7-9 14:11 编辑
首先用一张图回顾一下我们最熟悉的单空穴换位子3轮换的原理。
图 单空穴换位子3轮换
通过上图,我们可以明确地看到换位子=ABA’B’中的四个步骤的作用。
我们在盲拧中使用的几乎全部角块3轮换(详见《教你手算彳亍法角块378公式》)以及拙作《棱块三轮换公式的四种模式》中提到的棱块“普通换位子”公式都是单空穴换位子3轮换(“普通换位子”中所谓“普通”指的正是“单空穴”)及其共轭(即加上setup/reverse)的形式。
本帖最后由 123wyx 于 2017-7-9 14:12 编辑
天方魔的文章《[五循环]实例及“标态”研究》对双空穴换位子的原理进行了分析。文章指出,双空穴换位子=ABA’B’四个步骤中的每一步骤(以下简称为“单步骤”)都会对两个空穴产生影响。按照两空穴位置移动的效果,可以把单步骤分为三类:“完全替换”、“半替换”和“互相替换”。《[五循环]实例及“标态”研究》的3楼已经给出了这三种单步骤的图解。(以下把这三种单步骤依次分别简称为“全”、“半”和“互”。)
文章还指出,双空穴换位子=ABA’B’的A和B这两个单步骤可以分别取三种单步骤(即“全”、“半”和“互”)的其中一种,不同的单步骤组合会产生不同的置换效果。
其中,当A与B一个是“完全替换”,另一个是“半替换”时,换位子的效果将是一个5轮换。该文章指出,5轮换的“标态”必然是“完全替换”+“半替换”的状态。(本文把这种模式简记为“全+半”。)
5轮换“全+半”的图解如下。
图 5轮换“全+半”
那么我们自然想到,双空穴换位子=ABA’B’的A和B这两个单步骤各取“全”、“半”、“互”的其中一种,可以构成多少种不同的组合?这些组合构成的换位子分别产生什么样的置换效果?
下面笔者以天方魔的文章为依据,尝试整理出双空穴换位子的各种模式,并给出相应的图解和例子。
本帖最后由 123wyx 于 2017-7-9 14:12 编辑
笔者目前把双空穴换位子整理为7种模式,它们分别是:
1. “全+半”——5轮换;
2. “全+全”——双3轮换;
3. “全+互”——双对换(1);
4. 同向“半+半”——双对换(2);
5. 异向“半+半”——双对换(3);
6. “半+互”——M流3轮换;
7. “互+互”——不变。
(也许存在尚未想到的情况,欢迎读者补充。)
我们逐个分析这7种模式。
本帖最后由 123wyx 于 2017-7-9 14:13 编辑
1. “全+半”——5轮换
图 “全+半”——5轮换
从上图可以看到,通过“全+半”形式的移动,换位子涉及的5个块发生了轮换。
5轮换最经典的例子就是=UM’U’M。绝大部分实用的5轮换都可以看作这个短公式的共轭。
=UM’U’M这个公式中,UF和UB构成双空穴。第一步U把UR和UL分别移到UF和UB这两个空穴位置,所以是“完全替换”;第二步M’把FD和UF分别移到UF和BU这两个空穴位置,所以是“半替换”。也就是说,这个公式是“全+半”的结构,它也确实产生了5轮换的效果。
还有一个例子是。天方魔《[五循环]实例及“标态”研究》的1楼已经对这个例子作出了详细的解释。我们看到,这个公式中UF和UB构成双空穴。第一步骤LU’L’U’把UL和UF分别移到UF和UB这两个空穴位置,所以是“半替换”;第二步骤M2把DB和DF分别移到UF和UB这两个空穴位置,所以是“完全替换”。也就是说,这个5轮换公式也是“全+半”的结构。
本帖最后由 123wyx 于 2017-7-9 14:13 编辑
2. “全+全”——双3轮换
图 “全+全”——双3轮换
从这张图可以看出,“全+全”形式的双空穴换位子产生了双3轮换的效果。
例如,在公式=UM2U’M2中,UF和UB构成双空穴。第一步U把UR和UL分别移到UF和UB这两个空穴位置,所以是“完全替换”;第二步M2把DB和DF分别移到UF和UB这两个空穴位置,所以也是“完全替换”。也就是说,这个公式是“全+全”的结构,它产生双3轮换(UF-DB-UR与UB-DF-UL两个3轮换)的效果。
本帖最后由 123wyx 于 2017-7-9 14:13 编辑
3. “全+互”——双对换(1)
在本文所述7种模式中,有3种产生了双对换(即双2轮换)的效果,它们分别是“全+互”、“同向‘半+半’”以及“异向‘半+半’”。我们分别来看。
图 “全+互”——双对换(1)
从这张图可以看出,“全+互”形式的双空穴换位子产生了双对换的效果。
例如,在公式=U2M2U2M2中,UF和UB构成双空穴。第一步U2把UB和UF分别移到UF和UB这两个空穴位置,所以是“互相替换”;第二步M2把DB和DF分别移到UF和UB这两个空穴位置,所以是“完全替换”。也就是说,这个公式是“全+互”的结构,它产生双对换(UF-UB与DF-DB两个对换)的效果。
本帖最后由 123wyx 于 2017-7-9 13:45 编辑
4. 同向“半+半”——双对换(2)
图 同向“半+半”——双对换(2)
图中所示的前两个单步骤可以看成把空穴向同样的方向移动(此图中前两步都是左边空穴上的块移动到右边的空穴上),所以我们将此图所示模式称为“同向‘半+半’”。
从这张图可以看出,同向“半+半”形式的双空穴换位子也产生了双对换的效果。
例如,在公式=(LU’L’U’)M’(ULUL’)M中,UF和UB构成双空穴。第一步骤LU’L’U’把UL和UF分别移到UF和UB这两个空穴位置,所以是“半替换”;第二步骤M’把FD和FU分别移到UF和UB这两个空穴位置,所以也是“半替换”。而且我们注意到,前两个步骤都是把UF空穴上的块移动到UB空穴位置上,所以这个公式是同向“半+半”的结构,它产生双对换(UF-UB与UL-DF两个对换,注意色向问题)的效果。 本帖最后由 123wyx 于 2017-7-9 14:13 编辑
5. 异向“半+半”——双对换(3)
除了上面介绍的“同向‘半+半’”,还有一种“半+半”的模式,即“异向‘半+半’”。
图 异向“半+半”——双对换(3)
图中所示的前两个单步骤可以看成把空穴向相反的方向移动(此图中第一步是左边空穴上的块移动到右边的空穴上,而第二步是右边空穴上的块移动到左边的空穴上),所以我们将此图所示模式称为“异向‘半+半’”。
从这张图可以看出,异向“半+半”形式的双空穴换位子仍产生双对换的效果。
例如,在公式=(LU’L’U’)M(ULUL’)M’中,UF和UB构成双空穴。第一步骤LU’L’U’把UL和UF分别移到UF和UB这两个空穴位置,所以是“半替换”;第二步骤M把BU和BD分别移到UF和UB这两个空穴位置,所以也是“半替换”。而且我们注意到,第一个步骤是把UF空穴上的块移动到UB空穴位置上,而第二个步骤是把UB空穴上的块移动到UF空穴位置上,所以这个公式是异向“半+半”的结构,它产生双对换(UF-UL与UB-DB两个对换)的效果。