三阶魔方三轮换分类及其应用
本帖最后由 123wyx 于 2016-7-15 12:08 编辑三阶魔方三轮换分类及其应用
123wyx
这两年专注三阶速度盲拧的选手很多，越来越多的魔友希望把自己缓冲块的全部三轮换（三循环）解法优化到最佳，并作为公式固定下来。在交流的过程中，我发现不少魔友学习、研究全套三轮换解法的热情很高，搜集、编写了不少公式，但对三阶魔方三轮换在理论上的分类并不是很清楚，没有把具有相同性质的三轮换归为一组，导致公式逐个开发、逐个记忆的现象，降低了学习效率。现在我把三阶魔方三轮换的分类完整地整理出来，希望能让更多喜欢三阶速度盲拧的魔友把三轮换的分组方法吃透，希望本文对普及高级彳亍法起到一点作用。
内容提要
本文首先简要回顾了三阶盲拧技术的发展史及三轮换在盲拧方法进化中起到的作用。为了以“至多只差整体旋转”等价关系对角块、棱块三轮换分类，本文根据三轮换等价类是否区分色向与整体旋转，定义了类、套、组等概念，对全部角块、棱块三轮换以及固定缓冲角块、棱块三轮换的分类、分组进行了分析，得到了角块三轮换分为23组，棱块三轮换分为43组的结论，并给出了全部角块、棱块三轮换的完整分类。进一步地，本文对三轮换各类各组的镜面对称关系，以及三轮换的组间相差一步的关系作出了完整的分析。本文最后简单介绍了三轮换分组在三阶盲拧及其他项目中的应用，包括公式的分类储备、利用、扩展、开发的思路，以及三轮换分组与最少步和高阶盲拧的关系。 本帖最后由 123wyx 于 2016-7-15 12:44 编辑
目 录
前言·······························································- 3# -
第一部分 三阶盲拧三轮换分类细解·························- 6# -
第一章 角块三轮换的分类与分组······················- 8# -
第1节 固定缓冲角块三轮换的分类与分组·······- 8# -
第2节 角块三轮换的镜像关系·····················- 20# -
第3节 全部角块三轮换的分类与分组·············- 24# -
第二章 棱块三轮换的分类与分组······················- 36# -
第1节 固定缓冲棱块三轮换的分类与分组·······- 36# -
第2节 棱块三轮换的镜像关系·····················- 51# -
第3节 全部棱块三轮换的分类与分组············- 52# -
第4节 三轮换分类总结·····························- 57# -
第三章 三轮换的组间一步关系·························- 58# -
第二部分 三轮换分组的应用·································- 61# -
第四章 三轮换分组在三阶盲拧中的应用··············- 61# -
第1节 公式的分类···································- 61# -
第2节 公式库的建立与公式的储备···············- 61# -
第3节 公式与缓冲块································- 62# -
第4节 公式的开发···································- 63# -
第五章 三轮换分组与其他项目·························- 64# -
第1节 三轮换分组在最少步中的应用············- 64# -
第2节 高阶盲拧中的三轮换························- 68# -
本帖最后由 123wyx 于 2016-7-17 19:58 编辑
前 言
三轮换（三循环）是三阶盲拧项目的核心技术。在魔方盲拧十几年的发展历程中，关于三轮换的研究扮演了重要的角色。
三阶盲拧最初的方法是先调整色向再复原位置的“四步盲拧法”。笔者目前能找到的最老的盲拧资料是英国的Dr. Richard Carr于2002年2月完成的一篇名为“Blindfold Cubing”的文章，这篇文章给出了各个阶数的魔方盲拧的方案。文章明确提出，三阶盲拧可以通过角色向复原、棱色向复原、角位置复原、棱位置复原这四个步骤完成，并指出位置复原可以通过若干三轮换或双对换来完成。这篇文章给出的方法可以看作我们现在熟悉的四步法的雏形。
不久以后，上述方法被魔友们整理为我们熟悉的“四步逐块还原法”和“三循环四步法”。整理后的方法在位置复原阶段角棱各固定一个块（称为“缓冲块”）作为各个三轮换（或二角二棱换）的起点，并按照编码的顺序进行位置复原，免去了每做一个三轮换都要在大脑中对各块的置换走向图进行更新的麻烦。
“四步逐块法”和“三循环四步法”的区别是，在位置复原阶段，“四步逐块法”使用二角二棱换，而“三循环四步法”使用三轮换。“四步逐块法”的二角二棱换每次只能复原一个块的位置，在角块位置复原阶段，一对棱块一直在来回对换，棱块复原阶段则是一对角块在来回对换，所以“四步逐块法”的步数是非常长的。“三循环四步法”在位置复原阶段使用三轮换，一次可以完成两块的位置复原，比“四步逐块法”的效率要高出一倍。
在四步法时代，国内很多魔友对四步法的完善做出了贡献。mf8论坛创始人cube_master编写的《图解三阶盲拧》成为国内最经典的四步逐块法教程。dyer（占星术士）等魔友发表的相关文章对普及三循环四步法起到了巨大作用。2007年，我国盲拧名手占星将四步法推向极致，在WCA北京公开赛上用四步法创造了1分10秒27的成绩，后被正式认定为三阶盲拧世界纪录，掀起了国内魔友学习盲拧的热潮。
2004年，来自德国的盲拧大师Stefan Pochmann提出，可以使用二角二棱换逐块同时解决色向与位置。这样一来我们看到，“四步逐块法”中的角棱色向调整实际上可以包含在位置复原的过程中，与位置复原同步进行。Stefan Pochmann的这一方法被国内称为“二步逐块法”。“二步逐块法”省去了“四步逐块法”中角棱原地翻色的步骤，效率明显高于“四步逐块法”。该方法中方向和位置一起解决的理念为彳亍法的诞生做了理论上的铺垫。
随后，通过对“二步逐块法”和四阶盲拧r2法的研究，Stefan Pochmann于2007年公布了三阶盲拧的M2/R2法。这一方法巧妙地采用了以M层/R层为枢纽的办法逐块同时解决色向与位置，克服了二角二棱换浪费大量步数的缺点，大大提升了“二步逐块法”的效率。Stefan Pochmann的工作使M2/R2成为当时三阶盲拧效率最高的方法之一。
通过对“三循环四步盲拧法”和“同时解决色向与位置的方法（二步逐块法）”的研究，我国盲拧界元老彳亍于2006年精辟地指出，人为赋予块“正负向”并加以调整，只是为了方便位置复原时的判断，其实对于魔方自身来说是没有实际意义的。（位置复原本来就应该包含色向的调整。不在原位的块的色向不存在正误之分，所以对不在原位的块进行“色向复原”的说法没有意义。）因此完全可以把“三循环四步盲拧法”和“二步逐块法”的优势结合起来，运用三轮换的原理一次同时解决两块的色向及位置。
这样一来，“四步盲拧法”中系统化地原地打转的两个步骤变得价值不大；“二步逐块法”由于有了三轮换的新工具，效率大大提升。“四步逐块还原法”的两条进化路径殊途同归，共同指向了“三循环二步盲拧法”（即彳亍法）。盲拧早期方法中的两大废步来源（二角二棱换造成的无意义对换、角和棱不必要的原地翻色）在彳亍法中不复存在，“三循环二步盲拧法”逐渐成为所有顶尖速度盲拧选手关注的方法。
经过roundy、一叶知秋、白河寒秋、异或非等众多盲拧专家的不懈努力，彳亍法的三轮换体系不断得到优化，一些新的技巧也逐步被开发出来，彳亍法日臻完善，稳步向高级阶段迈进。2009年至2010年，我国选手瓦西里使用高级彳亍法大幅刷新世界纪录，标志着高级彳亍法从此成为世界顶级盲拧选手的不二选择。2011年，魔方元老roundy以30.58秒的成绩打破世界纪录，用技术优势延续了我国在三阶盲拧赛场的辉煌。
近年来，随着高级彳亍法的普及，新一代盲拧爱好者对技术精益求精，通过大量的理论研究与实践，使彳亍法不断向前发展。2014年至2016年，我国盲拧选手林恺俊数次打破世界纪录。截至2016年7月本文完成时，林恺俊仍以单次21.05秒、平均24.97秒的成绩保持着三阶盲拧单次、平均两项世界纪录。（7月16日，林恺俊又以三次平均24.72秒的成绩刷新世界纪录，将高级彳亍法的竞技成绩推向了新的高度。）
图 盲拧方法进化示意图 本帖最后由 123wyx 于 2016-7-17 10:04 编辑
掌握盲拧方法中涉及的全部三轮换的正确解法，是盲拧学习中重要的一环。早在四步法时代，众高手就总结了固定缓冲块、色向确定的情况下角块42条三轮换、棱块110条三轮换的正确解法。具体的思路是，把少量较好的公式确定为“基本公式”，相应的情况则为“基本情况”，把其他情况通过“装载”（setup）转化成“基本情况”（或者说“基本公式”可以解决的情况），做完公式（“加工”）以后再通过“卸载”（reverse，“装载”的逆过程）使移动的块正确回到原位，这样就完成了一次三轮换。在当时的技术条件下，角棱位置复原阶段提速的关键就是将每一种情况的“装载”过程确定并通过大量练习形成条件反射。
由于四步法实际操作中换缓冲块的方法比较容易掌握，还可以总结出全缓冲块情况下角块112条三轮换和棱块440条三轮换（注意，这与彳亍法棱块单缓冲块全公式440条不是一回事）的正确解法。前世界纪录保持者占星等很多魔友做过大量相关的工作，对四步法的普及起到了至关重要的作用。对四步法感兴趣的朋友可以到《盲拧区——导读》等帖子中查阅相关资料。
彳亍法开创性地指出，可以运用三轮换的原理一次同时把两块的位置及色向解决。这样一来，省去了四步法中“角块色向复原”、“棱块色向复原”两个步骤，完成了盲拧理论的一次革命。彳亍法使原地翻色的操作大大减少，同时也提高了对三轮换研究的要求。
众所周知，在固定缓冲块的彳亍法中，角块有378条三轮换，棱块有440条三轮换，合起来一共有818条。
如何将数量众多的三轮换的解法分类吸收？一叶知秋《彳亍法 记事本》、白河寒秋《彳亍法（三循环二步盲拧法）入门简明教程》等经典教材的处理是给出18个角块三轮换公式（以DBL为缓冲块，UFL和URF为“加工厂”）、以UF为缓冲的22个棱块三轮换公式（或以DF为缓冲的10个棱块三轮换公式，实际上棱块公式还可以更少），并把它们作为“基本公式”，相应的情况则为“基本情况”，把其他所有情况通过“装载”到“加工厂”的操作转化成“基本情况”来处理。
图 彳亍法编码
此处借用一叶知秋《彳亍法 记事本》中的三个表格。
表 棱块“基本公式”
表 角块“基本公式”
（注意，上面的表中把角块的色向分为0、1、2，棱块分为0、1，这是一种人为的设定，同一块上的各个面没有级别之分。）
以角块为例，上述教材中给出了DBL-UFL-URF的18条三轮换公式，并指出了一套标准调位方法，把其他所有三轮换情况转化为18种“基本情况”中的一种来解决。
表 角块调位 本帖最后由 123wyx 于 2016-7-14 22:32 编辑
在彳亍法开始普及的一段时间里，盲拧界围绕三轮换公式进行了紧张的研究，陆续出现了各种版本的“扩展公式”。以角块为例，除了DBL-UFL-URF的18条三轮换“基本公式”以外，有的魔友发展了DBL-URF-DLF、DBL-URF-ULB、DBL-URF-DRB等系列的公式。其目的是减少“装载”的步数，把所有的“装载”过程限制在一步内解决，公式外的所有情况仍然都转化为扩展后的“基本公式”来解决。
渐渐地，国内外的顶尖速盲选手认识到，为了提高速度，应该放弃只使用少量“扩展公式”系统化地进行“装载”的过程。必须把固定缓冲的彳亍法的818条三轮换逐一优化，全部公式化，形成完整的三轮换体系，达到以最快速度完成复原的目的。几年前，以Beyer、Hardwick为代表的魔友运用换位子（交换子）原理开发了成套的公式，形成了完整的方法，在国外被称为Beyer-Hardwick方法，简称BH法。国内则从实战出发，更注重公式的速度和顺手程度，经过大规模演算和筛选，建立了适合速度盲拧项目的公式体系，由瓦西里等魔友在大量实践中创造了辉煌的成绩。
为了形成完整的三轮换体系，有的魔友将三轮换编码后涉及的双字母组合按照字典序排列，然后逐一计算三轮换的具体做法。这样就把固定缓冲块情况下的所有情形包括了进来。我们可以把这种公式集称作“字典序公式集”。
有的魔友先按三轮换涉及的三个块的位置（暂不考虑色向）进行分组，在固定缓冲块的情况下，角块分为21套，棱块分为55套。再按色向和顺逆细分，角块每套包括18个公式，棱块每套包括8个公式。这样就把经典入门教程中给出的角块18个“基本公式”看成21套公式中的一套，归为公式集的一小部分。这种分类方式由于直观易懂，受到了很多魔友的欢迎。现在有几种流传较广的公式集是以这种方式给出的。
还有魔友把能使用同一公式解决（只不过是方向不同）的三轮换放在一起。（可参见roundy、jinlongze2007等魔友的公式。）这种方法把只差整体旋转且能用同一个公式（只不过是方向不同）解决的若干三轮换状态放到一起研究。
“把只差整体旋转（只是方向不同）的若干三轮换放到一起研究”的方法值得我们重视。事实上，以“至多只差整体旋转”是一种等价关系的事实为基础，把两两之间至多只差整体旋转的所有三轮换状态归为一个等价类，可以对固定缓冲的彳亍法的818条三轮换，乃至不限制缓冲的2768条三轮换进行分类。下面将详细分析并系统总结三轮换的这种分类方法，并给出该方法在速度盲拧及其他项目中的一些应用。 本帖最后由 123wyx 于 2016-7-17 13:31 编辑
第一部分 三阶盲拧三轮换分类细解
在三阶盲拧中，缓冲块分为角缓冲块和棱缓冲块两种。角缓冲块在复原过程中一般要参与全部角块三轮换，棱缓冲块在复原过程中一般要参与全部棱块三轮换。每位选手的体系一般有一个角缓冲块和一个棱缓冲块，但大家的体系不尽相同。受彳亍法研究早期众高手对装载的难度、“基本公式”顺手程度和奇偶校验位置等因素的考虑的影响，国内比较流行的角缓冲块为DBL和UFL，棱缓冲块为UF和DF。此外，有的魔友曾经或正在使用其他的缓冲块，如彳亍等魔友使用UBL-UR作为缓冲块，有些魔友使用DFR作为角缓冲块，也同样能取得很好的效果甚至刷新世界纪录。
实际上，角、棱各有24种缓冲。每一个角块或棱块的每一个面都可以作为缓冲。例如DBL角块的D、B和L三个面都可以当作缓冲。（只不过它们三个是完全等价的，只要把编码关系弄清楚即可。以《彳亍法 记事本》中的编码为例，以O为缓冲的AJ三轮换和以P为缓冲的BK三轮换是一样的。）“缓冲块”从某种角度来说应该是“缓冲面”（这里的“面”指的是角块或棱块的一个色向，而不是魔方整体的一个面）。绝大部分魔友习惯上以朝上或朝下的面作为“缓冲面”。如DBL的D面，UFL的U面，UF的U面，DF的D面。
有的魔友认为，不同的缓冲块就是完全不同的系统，它们之间很难互相借鉴。以角块DBL和UFL缓冲块为例，它们分别有378条三轮换，其中只有108条是同时涉及DBL和UFL的，其公式可以在两个缓冲块下共用。假如我使用DBL缓冲块，拿到一套精品的UFL缓冲块公式，是否只有108条可以为我所用，其他270条对我就没有价值了呢？显然不是这样的。
下面将对三阶盲拧涉及的所有三轮换进行分析，整理出一个系统的分类方案，并给出运用该方案进行公式研究的具体说明。
首先回顾一下我们熟知的818条三轮换是怎么回事。
三阶魔方有8个角块，选定缓冲块（以及一个固定的面，如DBL中的D面）作为三轮换的起点以后还有7个角块，每个角块有3个面，所以共有21个面。我们选定其中的一个面作为该三轮换中缓冲位置上的面的目的地（由于现在探讨的是无系统化装载的全公式，我们不妨直接把这一块（面）称为加工厂1）。确定缓冲块和加工厂1以后，还有6个角块，即18个面可以作为该三轮换中加工厂1上的面的目的地（同样地，我们直接把这一块（面）称为加工厂2）。加工厂2上的面经过三轮换自然会回到缓冲面，完成整个三轮换。所以在固定缓冲块的情况下，角块三轮换共有21*18=378条。（顺便说一句，两个加工厂位于同一个块的两个面上时就形成了两角原地翻色，它其实可以看成一种特殊的三轮换，但我们在这里不考虑这种情况。在速度盲拧中，这种情况下直接使用翻色公式可能快些，但其实有的翻色公式就是两个三轮换的叠加。请有兴趣的读者自行研究。）
类似地，三阶魔方有12个棱块，选定缓冲块作为三轮换的起点以后还有11个棱块，每个棱块有2个面，共有22个面，我们选定其中的一个面作为加工厂1。确定缓冲块和加工厂1以后，还有10个棱块，即20个面可以作为加工厂2。所以在固定缓冲块的情况下，棱块三轮换共有22*20=440条。
这样，在角棱缓冲块均固定的情况下，涉及的三轮换共有378+440=818条。 本帖最后由 123wyx 于 2016-7-14 22:33 编辑
为了使所有人都能找到和自己的缓冲块对应的内容，我们必须将三阶魔方涉及的所有角、棱三轮换进行完全的分类整理，以保证这一分类系统具有广泛的适用性。
那么在不限缓冲块的情况（即全部情况）下，三阶魔方一共有多少角、棱三轮换呢？早已有魔友计算并探讨过这一问题，这里再详细解释一下。
三阶魔方有8个角块，由于不设定缓冲块，我们不妨把参与三轮换的三个角块（当然要区分色向）称为加工厂1、加工厂2和加工厂3。加工厂1可以在全部24个角块面中自由选择。确定加工厂1以后，还有7个角块，即21个面可以作为加工厂2。确定加工厂1和加工厂2以后，还有6个角块，即18个面可以作为加工厂3。这样就确定了整个三轮换。我们注意到，由于加工厂顺序与色向的原因，同一个三轮换被计算了9次（以《彳亍法 记事本》中的编码为例，OAJ、AJO、JOA、PBK、BKP、KPB、QCL、CLQ、LQC是同一个三轮换）。所以在不限缓冲块的情况下，三阶魔方一共有24*21*18/9=1008条角块三轮换。
不难注意到，全部角块三轮换总数是固定缓冲块情况下角块三轮换数量的8/3。实际上，由于魔方有8个角块，可以把每个角块作为固定缓冲块各算一次。不论使用哪个角块作为固定缓冲块，都涉及378条角块三轮换。把这8套378条角块三轮换放在一起，由于每个三轮换涉及3个角块，所以任意一条三轮换在三个角块分别作缓冲时各算了一次。因而角块三轮换的总数是378*8/3=1008条。
类似地，由于魔方有12个棱块，可以把每个棱块作为固定缓冲块各算一次。不论使用哪个棱块作为固定缓冲块，都涉及440条棱块三轮换。把这12套440条棱块三轮换放在一起，由于每个三轮换涉及3个棱块，所以任意一条三轮换在三个棱块分别作缓冲时各算了一次。因而棱块三轮换的总数是440*12/3=1760条。
也就是说，在不要求三轮换必须经过某一固定缓冲块的情况下，涉及的角块、棱块三轮换共有1008+1760=2768条。
对这2768条三轮换分类以后，不论你的角、棱缓冲块处在什么位置，都可以从分类总表中挑出你需要的378+440=818条三轮换应用于自己的盲拧系统。 本帖最后由 123wyx 于 2016-7-17 13:48 编辑
第一章 角块三轮换的分类与分组
我们先研究固定缓冲块情况下所有角块三轮换的分类，再把分类的结果推广到全部的情况。
第1节 固定缓冲角块三轮换的分类与分组
我们以DBL缓冲块为例进行角块三轮换分类。事实上，不论你用什么缓冲块都完全不会影响你对整个分类体系的理解，因为分类的结果很容易推广到不固定缓冲块的情况或改写为其他缓冲块的体系，并获得高度类似的结果。
1.1 编码与基本概念
为了方便描述，下面会使用两套编码。其中一套是在不分色向情况下的编码，沿用老大cube_master在《图解三阶盲拧（盲拧入门级教程）》中的编码，如图所示。
图 四步法角块、棱块编码
角块
上左前（ULF） 1
上左后（ULB） 2
上右后（URB） 3
上右前（URF） 4
下左前（DLF） 5
下左后（DLB） 6
下右后（DRB） 7
下右前（DRF） 8
棱块
上前（UF） 1
上左（UL） 2
上后（UB） 3
上右（UR） 4
下前（DF） 5
下左（DL） 6
下后（DB） 7
下右（DR） 8
前右（FR） 9
前左（FL） 0
后左（BL） A
后右（BR） B
另一套是一叶知秋《彳亍法 记事本》中的编码，如图所示。
图 彳亍法角块、棱块编码
我会尽量多配插图，减少与读者编码不同带来的影响。另外，本文内容与魔方配色方案及配色坐标没有任何关系，避免了配色不同造成的影响。
下面如无特殊说明，暂时不区分三轮换的顺逆，把处于同一位置的正反两个方向的三轮换看作同一型。因为顺逆公式一般具有高度的相似性，反向完成的公式就可以作为逆公式。例如大家熟悉的OAJ公式，反过来做就是OJA的公式。
图 OAJ 本帖最后由 123wyx 于 2016-7-17 14:21 编辑
现在给出几个定义，以方便叙述。
类：在不分色向的情况下，把两两之间至多只差整体旋转的所有三轮换状态归为一个等价类，这样的一个等价类称为一个“类”。
套：在不分色向的情况下，把处于同样位置的所有三轮换状态归为一个等价类，这样的一个等价类称为一个“套”。
组：在区分色向的情况下，把两两之间至多只差整体旋转的所有三轮换状态归为一个等价类，这样的一个等价类称为一个“组”。
型：在区分色向的情况下，把处于同样位置的所有三轮换状态归为一个等价类，这样的一个等价类称为一个“型”。
条：在色向、整体旋转和顺逆都完全区分开的情况下，每个三轮换的状态称为一“条”三轮换。
下面给出详细解释。
“类”是指在不分色向的情况下，把两两之间至多只差整体旋转的所有三轮换状态归为一个等价类，这样的一个等价类称为一个“类”。通俗地说，在不分色向的情况下，如果一个三轮换能通过整体旋转（甚至不需要整体旋转）变成另一个三轮换，那么这两个三轮换属于同一个“类”。
图 DBL-UFL-URF和 URF-ULB-DBL
例如，前面提到的DBL-UFL-URF的18条三轮换公式在不分色向的情况下处于同一位置，所以它们属于同一个“类”。进一步地，做一个y2z’的整体旋转，按相对坐标系的位置看一下现在处于新坐标系DBL-UFL-URF位置的块，会发现新坐标系下DBL-UFL-URF三轮换是原坐标系下URF-ULB-DBL位置的三轮换，所以按照上面的定义，URF-ULB-DBL的18条三轮换公式和DBL-UFL-URF的18条三轮换公式都是同一“类”的。事实上，刚刚提到的这一“类”就是马上要讲到的角块三轮换的第1类（又名异层类），在固定缓冲情况下包括162条三轮换（即不分顺逆情况下的81型三轮换），在不固定缓冲情况下包括162*8/3=432条三轮换（即不分顺逆情况下的216型三轮换）。下文会有详细说明。
“套”是指在不分色向的情况下，把处于同样位置的所有三轮换状态归为一个等价类，这样的一个等价类称为一个“套”。
这个概念前面已经提及，大家对它也非常熟悉。例如，DBL-UFL-URF的18条三轮换公式在不分色向的情况下处于同一位置，所以它们属于同一个“套”，而且这一“套”只有这18条三轮换。URF-ULB-DBL需要在DBL-UFL-URF的基础上经过整体旋转得到，所以它们是两个不同的“套”。
三阶魔方有多少个“套”？前面已经提到，有的魔友的公式集实际就是按“套”分组。在固定缓冲块的情况下，角块分为21套，棱块分为55套。再按色向和顺逆细分，角块每套包括18个公式，棱块每套包括8个公式，总共818条。如果是固定缓冲四步法，每套只给出固定色向的顺逆两个公式，即角块42条公式，棱块110条公式。
“套”与“类”的区别就在于差一个整体旋转的情况算不算同一等价类。在不分色向的情况下，只要差一个整体旋转，就不能记为一套，但可记为一类。所以“套”是“类”的细分，每一“类”是若干“套”的组合。
“组”是指在区分色向的情况下，把两两之间至多只差整体旋转的所有三轮换状态归为一个等价类，这样的一个等价类称为一个“组”。通俗地说，在区分色向的情况下，如果一个三轮换能通过整体旋转（甚至不需要整体旋转）变成另一个三轮换，那么这两个三轮换属于同一个“组”。
请注意，“组”是本文的核心概念。本文将给出三阶魔方2768条三轮换的分组。
“组”与“类”的区别就在于是否区分色向。“类”不分色向，但“组”要区分色向。所以“组”是“类”的细分，每一“类”是若干“组”的组合。
每一“类”既是若干“组”的组合，也是若干“套”的组合。“组”与“套”都是“类”的细分，但划分方法不同。“组”区分色向，但不区分旋转；“套”区分旋转，但不区分色向。所以“组”与“套”是完全不同的两个概念。
“型”是指在区分色向的情况下，把处于同样位置的所有三轮换状态归为一个等价类，这样的一个等价类称为一个“型”。
“条”是指在色向、旋转和顺逆都完全区分开的情况下，每个三轮换的状态称为一“条”三轮换。
图 OAJ和OJA是同一型三轮换，包含顺逆两条
既区分色向，又区分旋转，就是“型”的概念。再区分顺逆，就是前面已经多次出现的，我们最熟悉的“条”的概念。例如，OAJ和OJA是同一型，且这一型只有这两条三轮换。固定缓冲块条件下，角块三轮换有378条，棱块三轮换有440条，总共818条，这是我们熟知的。顺逆公式归为一型，马上得到固定缓冲条件下角块三轮换有189型，棱块三轮换有220型，总共409型。 本帖最后由 123wyx 于 2016-7-14 22:39 编辑
1.2 角块三轮换的分类
固定缓冲的角块三轮换有378条（189型），共分多少类，多少组？
我们从熟悉的“套”的概念入手，把至多只差整体旋转的所有套归为一“类”。固定缓冲条件下，角块共C(7,2)=21套。使用老大cube_master的角块1-8的编码，若我们把角6当作缓冲块，则有612、613、614、615、617、618、623、624、625、627、628、634、635、637、638、645、647、648、657、658、678等21套（612的套指6、1、2三个角块形成的套，其他类似），如下图所示。
图 不分色向的编码
图 角6缓冲的21套